χρήση θεωρήματος μέσης τιμής;

lefsk · #1

Καλημέρα!
α) Δείξτε ότι για κάθε $\displaystyle{ a > 1 }$ και $\displaystyle{ 0 < x < y }$ ισχύει ότι
$\displaystyle{ ax^{a-1}(y-x)<y^{a}-x^{a}<ay^{a-1}(y-x) }$
β) Δείξτε ότι για κάθε $\displaystyle{ x, y > 0 }$ ισχύει ότι
$\displaystyle{ (x+y)^{x+y} \leq 2^{x+y}x^{x}y^{y} }$ .

Για το α) εγώ διαίρεσα την σχέση με $\displaystyle{ y-x }$ που είναι θετικό και έτσι προκύπτει
$\displaystyle{ ax^{a-1}<\frac{y^{a}-x^{a}}{y-x}<ay^{a-1} }$ .
Έπειτα θεώρησα $\displaystyle{ f(k) = k ^{a} }$ συνεχή στο $\displaystyle{[x,y] }$ και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ (x,y) }$ και μετά εφάρμοσα το Θ.Μ.Τ.
Υπάρχει $\displaystyle{ \xi \in (x,y) }$ τ.ω. $\displaystyle{ \frac{y^{a}-x^{a}}{y-x} = f'(\xi) = a\xi^{a-1} }$

Άρα $\displaystyle{ ax^{a-1}<a(\xi)^{a-1}<ay^{a-1} }$ που ισχύει για τα δεδομένα της άσκησης.
Είναι σωστό;;
Καμία υπόδειξη για το β) ;

#2

lefsk έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 27, 2017 7:27 am
Είναι σωστό;;
Καμία υπόδειξη για το β) ;

Προφανώς τα παραπάνω είναι "ασκήσεις στο σπίτι" από κάποια μαθήματα που
παρακολουθείς.

Ας διευκρινίσουμε ότι το mathematica δεν είναι λυσάρι και δεν έχουμε σκοπό να
παρακάμψουμε τους Δασκάλους σου. Είναι χρήσιμο οι Καθηγητές να έχουν
σωστή εποπτεία των γνώσεών σου ώστε να πορευθούν ανάλογα.

Στο θέμα μας:

α) Για την πρώτη, δεν βλέπω τον λόγο να ρωτήσεις. Πρέπει να έχεις/αποκτίσεις την
αυτοπεποίθηση πότε ένας συλλογισμός είναι σωστός ή όχι.

β) Υπόδειξη μόνο: Το ζητούμενο είναι ισοδύναμο με την $(1+t)^{1+t}\le 2^{1+t}t^t$ για 0<t<1

.

Και κάτι ακόμα, που σε είχα ρωτήσει αλλά δεν απάντησες: Είσαι μαθητής ή φοιτητής;

Ότι και να είναι, σου ευχόμαστε τα καλύτερα. Απλά θέλουμε την πληροφορία για προσαρμόσουμε
τις απαντήσεις μας. Π.χ. σε προηγούμενο ποστ που αγνόησες (*) έλεγα ότι αν ήσουν μαθητής
θα δεχόμουν κάποια συγκεκριμένη ασάφεια σε μία λύση σου, αλλά όχι αν είσαι φοιτητής. Αν
λοιπόν είσαι φοιτητής, εκείνη η απάντησή σου ακόμα αιωρείται.

(*) Βλέπε τελευταία παράγραφο στο ποστ #14 εδώ.

lefsk · #3

Αρχικά ευχαριστώ για την υπόδειξη! Θα δουλέψω την άσκηση και θα σας πω. Φοιτητής είμαι αλλά αυτά που ανεβάζω δεν έχουν καμία σχέση με τα μαθήματά μου. Απλά μου αρέσουν τα μαθηματικά και όταν συναντάω τυχαία ασκήσεις, απλά προσπαθώ να τις λύνω. Και όταν έχω πρόβλημα απευθύνομαι εδώ σε εσάς, όχι για να μου λύσετε την άσκηση, αλλά για να μου ξεκλειδώσετε το μυαλό.
Επίσης για την προηγούμενη άσκηση ανέβασα και άλλη απάντηση, δε ξέρω αν την είδατε να μου πείτε τη γνώμη σας.

Antonis Loutraris · #4

extra υπόδειξη για το β αν δεν το έλυσες.

Διαίρεσε με $2^{x+y}$ και πάρε λογαρίθμους. Έπειτα θα δεις ότι είναι απλή εφαρμογή της ανισότητας Jensen

για κατάλληλη συνάρτηση
στο $(0,+\infty).$

Antonis Loutraris · #5

lefsk έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 27, 2017 10:27 am
Αρχικά ευχαριστώ για την υπόδειξη! Θα δουλέψω την άσκηση και θα σας πω. Φοιτητής είμαι αλλά αυτά που ανεβάζω δεν έχουν καμία σχέση με τα μαθήματά μου. Απλά μου αρέσουν τα μαθηματικά και όταν συναντάω τυχαία ασκήσεις, απλά προσπαθώ να τις λύνω. Και όταν έχω πρόβλημα απευθύνομαι εδώ σε εσάς, όχι για να μου λύσετε την άσκηση, αλλά για να μου ξεκλειδώσετε το μυαλό.
Επίσης για την προηγούμενη άσκηση ανέβασα και άλλη απάντηση, δε ξέρω αν την είδατε να μου πείτε τη γνώμη σας.

Για την άσκηση που παραπέμπει ο κ.Λάμπρου η απόδειξή σου είναι σωστή αλλά μάλλον από τυπογραφικό σου λάθος έχεις γράψει
για τις ακολουθίες που θεωρείς $x_{1}$ και $x_{2}$ αντί για $x_{n}$ και $y_{n}$ π.χ
Άλλαξε τους συμβολισμούς και είναι οκ.

#6

lefsk έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 27, 2017 10:27 am
Απλά μου αρέσουν τα μαθηματικά και όταν συναντάω τυχαία ασκήσεις, απλά προσπαθώ να τις λύνω.
...
αλλά για να μου ξεκλειδώσετε το μυαλό.

Χαιρόμαστε με το παραπάνω που σου αρέσουν τα Μαθηματικά.

Μία πολλή καλή πηγή ασκήσεων είναι το ίδιο το mathematica ή η εκτενής βιβλιογραφία που κυκλοφορεί.

Με περιήγηση στο mathematica θα ξεφύγεις από την τυχαία/σκόρπια συνάντηση ασκήσεων. Θα βρεις εξαιρετικό
υλικό και ποικιλία λύσεων στις ασκήσεις. Οπότε δεν χρειάζεται να απευθύνεσαι στο φόρουμ μόλις δυσκολευτείς
για να "σου ανοίξουμε το μυαλό" αλλά θα έχεις χρόνο να σχοληθείς σε βάθος. Οι δεδομένες λύσεις θα σου
είναι υπόδειξη κάθε φορά που κολλάς αλλά, εξυπακούεται, θα τις κοιτάς ΜΟΝΟ αν δουλέψεις αρκετά την κάθε άσκηση.

Τι απέγινε με την παραπάνω; Την έλυσες; Πώς;

lefsk · #7

Καλό μήνα! Σκέφτηκα κάποια πράγματα αλλά λόγω υποχρεώσεων δεν ασχολήθηκα ιδιαίτερα!
Σκέφτηκα να διαιρέσω με $\displaystyle{ 2^{x+y} }$ και να πάρω λογαρίθμους. Ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε την ανισότητα
$\displaystyle{ (x+y)log (\frac{x+y}{2}) \leq xlog(x) + ylog(y) }$ .
Αυτό προκύπτει από την ανισότητα Jensen για την κοίλη συνάρτηση $\displaystyle{ f(x)= xlogx }$ στο $\displaystyle{ (0, +\infty ) }$ .

lefsk · #8

Α είδα ότι η λύση μου είναι ίδια με την υπόδειξη που μου δόθηκε. Σας ευχαριστώ πολύ όλους!

#9

lefsk έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 01, 2017 3:31 am
Καλό μήνα! Σκέφτηκα κάποια πράγματα αλλά λόγω υποχρεώσεων δεν ασχολήθηκα ιδιαίτερα!
Σκέφτηκα να διαιρέσω με $\displaystyle{ 2^{x+y} }$ και να πάρω λογαρίθμους. Ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε την ανισότητα
$\displaystyle{ (x+y)log (\frac{x+y}{2}) \leq xlog(x) + ylog(y) }$ .
Αυτό προκύπτει από την ανισότητα Jensen για την κοίλη συνάρτηση $\displaystyle{ f(x)= xlogx }$ στο $\displaystyle{ (0, +\infty ) }$ .

lefsk έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 01, 2017 3:33 am
Α είδα ότι η λύση μου είναι ίδια με την υπόδειξη που μου δόθηκε. Σας ευχαριστώ πολύ όλους!

Χμμμμ

Η συνάρτηση είναι κυρτή, όχι κοίλη. Οπότε πρέπει να προσέξεις την φορά την ανισότητας.

Edit: Διόρθωσα αβλεψία μου.

lefsk · #10

Όχι δεν έχει γράψει αν είναι κυρτή ή κοίλη, εγώ το έγραψα. Κυρτή είναι; Θα την ξαναδώ πιο προσεχτικά όταν βρω χρόνο και αν έχω απορία θα σας πω. Ευχαριστώ και πάλι!

χρήση θεωρήματος μέσης τιμής;

χρήση θεωρήματος μέσης τιμής;

Re: χρήση θεωρήματος μέσης τιμής;

Re: χρήση θεωρήματος μέσης τιμής;

Re: χρήση θεωρήματος μέσης τιμής;

Re: χρήση θεωρήματος μέσης τιμής;

Re: χρήση θεωρήματος μέσης τιμής;

Re: χρήση θεωρήματος μέσης τιμής;

Re: χρήση θεωρήματος μέσης τιμής;

Re: χρήση θεωρήματος μέσης τιμής;

Re: χρήση θεωρήματος μέσης τιμής;

Μέλη σε σύνδεση