Ύπαρξη (;) ρητού

#1

Η παρακάτω άσκηση προέκυψε ψάχνοντας κάτι άλλο. Δεν κοίταξα να βρω λύση. Ίσως κάποιος που βρίσκει ενδιαφέρουσα την άσκηση να δώσει και μια λύση.

Έστω

τυχόν φυσικός αριθμός και $P=\big\{\frac{i}{n}\; \big|\; i=0,1,\ldots, n\big\}$ η διαμέριση του διαστήματος [0,1]

σε

τμήματα ίσου μήκους $\frac{1}{n}$ . Να εξετασθεί αν ισχύει ότι σε κάθε διάστημα $\big[\frac{i-1}{n}\,\frac{i}{n}\big]$ , $i=1,2,\ldots, n$ , υπάρχει ρητός $\frac{p}{q}$ με (p,q)=1

, τέτοιος ώστε να ισχύει $\dfrac{1}{q}\leqslant\dfrac{1}{n^2}$ .

#2

Υπάρχει.

Έστω διάστημα μήκους 1/n

. Σε αυτό το διάστημα μπορούμε να βρούμε ακριβώς

ρητούς με παρονομαστή n^2

, έστω τους $\displaystyle \frac{k+1}{n^2}, \ldots,\frac{k+n}{n^2}.$

Από τους $k+1,\ldots,k+n$ , ένας από αυτούς, έστω ο k+r

θα είναι ισότιμος με $1 \bmod n$ . Άρα (k+r,n) = 1

και άρα

.

Οπότε μπορούμε να πάρουμε p = k+r, q=n^2

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

grigkost έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 01, 2017 12:36 pm
Η παρακάτω άσκηση προέκυψε ψάχνοντας κάτι άλλο. Δεν κοίταξα να βρω λύση. Ίσως κάποιος που βρίσκει ενδιαφέρουσα την άσκηση να δώσει και μια λύση.

Έστω τυχόν φυσικός αριθμός και $P=\big\{\frac{i}{n}\; \big|\; i=0,1,\ldots, n\big\}$ η διαμέριση του διαστήματος σε τμήματα ίσου μήκους $\frac{1}{n}$ . Να εξετασθεί αν ισχύει ότι σε κάθε διάστημα $\big[\frac{i-1}{n}\,\frac{i}{n}\big]$ , $i=1,2,\ldots, n$ , υπάρχει ρητός $\frac{p}{q}$ με , τέτοιος ώστε να ισχύει $\dfrac{1}{q}\leqslant\dfrac{1}{n^2}$ .

Νομίζω ότι είναι πιο απλό από την λύση του Δημήτρη .
Βέβαια ο Δημήτρης στο διάστημα μήκους $\frac{1}{n}$
βρήκε ρητό με παρανομαστή ακριβώς $n^{2}$

Ισχύει ότι:
Αν

πεπερασμένο διάστημα και K>0

τότε υπάρχει ρητός

$\frac{p}{q},(p,q)=1$

με $\frac{1}{q}< K$ και

$\frac{p}{q}\in I$

Απόδειξη.
Οι ρητοί που βρίσκονται στο

και έχουν παρανομαστή $\leq \frac{1}{K}$

είναι πεπερασμένοι.Οι ρητοί που βρίσκονται στο

είναι άπειροι.

Αρα υπάρχει ρητός $\frac{p}{q},(p,q)=1$
με

$q> \frac{1}{K}$
και

$\frac{p}{q}\in I$

Επειδή $q> \frac{1}{K}\Leftrightarrow \frac{1}{q}< K$

ολοκληρώνεται η απόδειξη.

Ύπαρξη (;) ρητού

Ύπαρξη (;) ρητού

Re: Ύπαρξη (;) ρητού

Re: Ύπαρξη (;) ρητού

Μέλη σε σύνδεση