Απόσταση σημείων επαφής

KARKAR · #1

: Απόσταση σημείων επαφής.png (13.18 KiB) Προβλήθηκε 2162 φορές

Οι κύκλοι (O,3)

και

εφάπτονται εξωτερικά . Σε τυχαίο σημείο

του

φέρουμε εφαπτομένη ( την

) . Σχεδιάστε κάθετη σ'αυτήν ( την

) , η οποία να

εφάπτεται του (K)

, χωρίς να τέμνει τον (O)

. Υπολογίστε το μέγιστο μήκος του

.

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 03, 2017 1:55 pm
Απόσταση σημείων επαφής.pngΟι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά . Σε τυχαίο σημείο του

φέρουμε εφαπτομένη ( την ) . Σχεδιάστε κάθετη σ'αυτήν ( την ) , η οποία να

εφάπτεται του , χωρίς να τέμνει τον . Υπολογίστε το μέγιστο μήκος του .

: Απόσταση σημείων επαφής.png (23.98 KiB) Προβλήθηκε 2129 φορές

Κατασκευή: Έστω

σημείο του κύκλου (O).

Από το

φέρνω κάθετη στην

που την τέμνει στο

και τον κύκλο

(K)

στο

ώστε τα

να βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της OK.

Οι εφαπτόμενες των κύκλων (O), (K)

στα

αντίστοιχα τέμνονται στο ζητούμενο σημείο

Η απόδειξη είναι απλή λόγω του ορθογωνίου PTQS

(έχει από κατασκευής

τρεις ορθές γωνίες).

Έστω

το μέσο του OK.

Είναι: $\displaystyle P{Q^2} = S{P^2} + S{Q^2} = S{O^2} + S{K^2} - 25 = 2S{M^2} + \frac{{49}}{2} - 25 \Leftrightarrow$

$\boxed{P{Q^2} = 2S{M^2} - \frac{1}{2}}$ (1)

Αλλά, $\displaystyle PQ = ST \le SM + MT \Leftrightarrow PQ \le SM + \frac{7}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} 4S{M^2} - 28SM - 51 \le 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{SM\le \frac{17}{2}}$

Άρα, $\boxed{ P{Q_{max}} = 12},$ όταν τα σημεία S, M, T

είναι συνευθειακά, δηλαδή όταν PQ||OK

Ανδρέας Πούλος · #4

Στο σχήμα του Doloros ονομάζουμε OT = x

,

.
Επειδή το τρίγωνο OKT

είναι ορθογώνιο ισχύει x^2 + y^2 = 49

, (1).
Επειδή το τρίγωνο PQT

είναι ορθογώνιο ισχύει (3+x)^2 + (4+y)^2 = PQ^2

(2).

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι
PQ^2 = 6x + 8y + 74

, (3)

Όμως, $y = \sqrt{49-x^{2}}$ . (4).
Άρα, η (3) λόγω της (4) γράφεται:

$PQ^2 = 6x + 8\sqrt{49-x^{2}} + 74$ , (5).

Με τη χρήση των θεωρημάτων του Διαφορικού Λογισμού βρίσκουμε ότι η μέγιστη τιμή του PQ^2

είναι για

.
Τότε, λόγω της (1) έχουμε y = 28/5

.
Συνεπώς, η μέγιστη τιμή του PQ^2 = 144

,
που σημαίνει ότι η μέγιστη τιμή του PQ = 12

.

Ανδρέας Πούλος · #5

Με την ευκαιρία, δεν μπορώ να μην εκφράσω τον θαυμασμό μου για τη λύση του Doloros.
Είναι ακριβώς ο αρχαιοελληνικός τρόπος απόδειξης και εύρεσης των μεγίστων - ελαχίστων,
πριν την εμφάνιση του Διαφορικού Λογισμού.

#6

Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 04, 2017 11:48 pm

Άρα, η (3) λόγω της (4) γράφεται:

$PQ^2 = 6x + 8\sqrt{49-x^{2}} + 74$ , (5).

Με τη χρήση των θεωρημάτων του Διαφορικού Λογισμού βρίσκουμε ότι η μέγιστη τιμή του είναι για .

Και με παραδoσιακή χρήση της Cauchy-Schwarz:

$\displaystyle{6x + 8\sqrt{49-x^{2}} + 74\leq \sqrt{6^2+8^2}\sqrt{x^2 +49-x^2}+74=144}$

με την ισότητα αν, και μόνο αν

$\displaystyle{6\sqrt{49-x^2}=8x\iff x=\frac{21}{5}.}$

Απόσταση σημείων επαφής

Απόσταση σημείων επαφής

Re: Απόσταση σημείων επαφής

Re: Απόσταση σημείων επαφής

Re: Απόσταση σημείων επαφής

Re: Απόσταση σημείων επαφής

Re: Απόσταση σημείων επαφής

Μέλη σε σύνδεση