Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

Soteris · #1

Α΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Δύο φίλοι, οι $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ , έχουν από μια υπολογιστική μηχανή και αρχίζουν να κάνουν πράξεις ταυτόχρονα. Ο $\displaystyle{A}$ ξεκινά με τον αριθμό $\displaystyle{100}$ και σε κάθε βήμα προσθέτει $\displaystyle{3}$ , ενώ ο $\displaystyle{B}$ ξεκινά με τον αριθμό $\displaystyle{2018}$ και σε κάθε βήμα αφαιρεί $\displaystyle{4}$ . Ύστερα από $\displaystyle{\nu}$ βήματα, οι δύο φίλοι καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα.

(α) Να βρείτε την τιμή του $\displaystyle{\nu}$ .
(β) Ποιο είναι το κοινό αποτέλεσμα στο οποίο καταλήγουν οι δύο φίλοι;

Πρόβλημα 2

Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Το $\displaystyle{A\Delta}$ είναι ύψος του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ , το $\displaystyle{E}$ είναι το μέσο του $\displaystyle{\Delta\Gamma}$ και το $\displaystyle{Z}$ είναι σημείο του $\displaystyle{A\Delat}$ , ώστε το μήκος του $\displaystyle{\Delta Z}$ να είναι διπλάσιο από το μήκος του $\displaystyle{AZ}$ . Αν το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{ABZ}$ είναι $\displaystyle{5\; cm^2}$ και το εμβαδόν του τετραπλεύρου $\displaystyle{A\Gamma EZ}$ είναι $\displaystyle{30\; cm^2}$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{BEZ}$ .

: Pagk_A2.png (12.85 KiB) Προβλήθηκε 1804 φορές

Πρόβλημα 3

Τρία δοχεία, τα $\displaystyle{A, B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ , περιέχουν διάλυμα νερού με οξύ. Το δοχείο $\displaystyle{A}$ περιέχει $\displaystyle{400\; ml}$ διάλυμα με περιεκτικότητα $\displaystyle{45\%}$ σε οξύ. Το δοχείο $\displaystyle{B}$ περιέχει $\displaystyle{500\; ml}$ διάλυμα με περιεκτικότητα $\displaystyle{48\%}$ σε οξύ. Το δοχείο $\displaystyle{\Gamma}$ περιέχει $\displaystyle{100\; ml}$ διάλυμα με άγνωστη περιεκτικότητα σε οξύ. Αδειάζουμε όλη την ποσότητα διαλύματος του δοχείου $\displaystyle{\Gamma}$ στα δύο πρώτα δοχεία, ώστε και τα δύο να έχουν τώρα διάλυμα με περιεκτικότητα $\displaystyle{50\%}$ σε οξύ το καθένα. Να υπολογίσετε την ποσότητα (σε $\displaystyle{ml}$ ) από διάλυμα που προσθέσαμε στο δοχείο $\displaystyle{A}$ .

Πρόβλημα 4

Να βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς που είναι μικρότεροι του $\displaystyle{2017}$ και οι οποίοι όταν διαιρεθούν με τους αριθμούς $\displaystyle{7,8}$ και $\displaystyle{9}$ αφήνουν υπόλοιπα $\displaystyle{6,7}$ και $\displaystyle{8}$ , αντίστοιχα.

Soteris · #2

Β΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Ίδιο με το πρόβλημα 2 της Α΄ Γυμνασίου.

Πρόβλημα 2

Τρεις φίλοι, οι $\displaystyle{A, B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ , έχουν από μια υπολογιστική μηχανή και αρχίζουν να κάνουν πράξεις ταυτόχρονα. Ο $\displaystyle{A}$ ξεκινά με τον αριθμό $\displaystyle{100}$ και σε κάθε βήμα προσθέτει $\displaystyle{3}$ , ο $\displaystyle{B}$ ξεκινά με τον αριθμό $\displaystyle{2018}$ και σε κάθε βήμα αφαιρεί $\displaystyle{4}$ , ενώ ο $\displaystyle{\Gamma}$ ξεκινά με τον αριθμό $\displaystyle{N}$ και στο πρώτο βήμα προσθέτει $\displaystyle{1}$ , στο δεύτερο βήμα $\displaystyle{2}$ , στο τρίτο βήμα $\displaystyle{3}$ , κ.ο.κ. Αν ύστερα από $\displaystyle{\nu}$ βήματα οι τρεις φίλοι καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα, να βρείτε τον αριθμό $\displaystyle{N}$ .

Πρόβλημα 3

Ο Γιώργος χρωστά στον Γιάννη € $\displaystyle{132}$ . Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί ο Γιώργος να ξεπληρώσει το χρέος του, χρησιμοποιώντας κέρματα του € $\displaystyle{1}$ και χαρτονομίσματα των € $\displaystyle{5}$ και € $\displaystyle{10}$ ;

Σημείωση: Σε κάθε τρόπο μας ενδιαφέρει το πλήθος των νομισμάτων και όχι η σειρά με την οποία επιλέγονται π.χ. ένας τρόπος είναι « $\displaystyle{32}$ κέρματα του € $\displaystyle{1}$ και $\displaystyle{10}$ χαρτονομίσματα των € $\displaystyle{10}$ ».

Πρόβλημα 4

(α) Να δείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{\alpha, \beta}$ ισχύει ότι: $\displaystyle{\alpha^2-\beta^2=(\alpha-\beta)(\alpha+\beta)}$

(β) Έστω $\displaystyle{x, y}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι $\displaystyle{x+y=xy=y^2-x^2}$ .

i. Να δείξετε ότι $\displaystyle{x-\frac{1}{x}=1}$ .
ii. Να δείξετε ότι ο $\displaystyle{x^3-\frac{1}{x^3}}$ είναι ακέραιος αριθμός.

Soteris · #3

Γ΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Δίνονται θετικοί πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ τέτοιοι, ώστε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{x}{y}}$ να είναι ακέραιος και να ισχύει ότι: $\displaystyle{\frac{3}{7}<\frac{2x+y}{3x+10y}<\frac{4}{9}}$

Να βρείτε τον αριθμό $\displaystyle{\frac{x}{y}}$ .

Πρόβλημα 2

Στο πιο κάτω σχήμα το $\displaystyle{AB\Gamma\Gelta}$ είναι τετράγωνο πλευράς $\displaystyle{1\; cm}$ και το $\displaystyle{AE\Gamma}$ είναι τόξο με κέντρο το $\displaystyle{\Delta}$ και ακτίνα $\displaystyle{\Delta\Gamma}$ . Ο κύκλος με κέντρο το $\displaystyle{K}$ και ακτίνα $\displaystyle{KE}$ εφάπτεται στις πλευρές $\displaystyle{AB, B\Gamma}$ και στο τόξο $\displaystyle{AE\Gamma}$ .

(α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{(KE)=(3-2\sqrt{2})\; cm}$ .
(β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής.

: Pagk_C2.png (20.56 KiB) Προβλήθηκε 1669 φορές

Πρόβλημα 3

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A=\frac{12345^2}{54321\cdot 66666}+\frac{54321^2}{12345\cdot 66666}-\frac{66666^2}{12345\cdot 54321}}$

Πρόβλημα 4

Έστω $\displaystyle{\alpha, \beta, \gamma}$ ακέραιοι αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι $\displaystyle{\alpha+\beta+\gamma=0}$ .
Να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\alpha^4+\beta^4+\gamma^4}{2}}$ είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου αριθμού.

Al.Koutsouridis · #4

Soteris έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 04, 2017 1:26 pm
Γ΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 4

Έστω $\displaystyle{\alpha, \beta, \gamma}$ ακέραιοι αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι $\displaystyle{\alpha+\beta+\gamma=0}$ .
Να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\alpha^4+\beta^4+\gamma^4}{2}}$ είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου αριθμού.

Από την ταυτότητα Euler είναι a^3+b^3+c^3=3abc

οπότε έχουμε διαδοχικά

$a^3+b^3 = 3abc-c^3 \Rigtharrow$

$(a^3+b^3)(a+b) = (3abc-c^3)(a+b) \Rightarrow$

$a^4+b^4 +ab(a^2+b^2) = (3abc-c^3) (-c) \Rightarrow$

$a^4+b^4+c^4 = (3abc-c^3) (-c) -ab(a^2+b^2)+c^4 \Rightarrow$

$a^4+b^4+c^4 = -3abc^2+c^4 -ab((a+b)^2-2ab) +c^4 \Rightarrow$

$a^4+b^4+c^4 = -3abc^2+2c^4-ab((-c)^2-2ab) \Rightarrow$

$a^4+b^4+c^4= 2c^4 -3abc^2 -abc^2+2(ab)^2 \Rightarrow$

a^4+b^4+c^4 = 2c^4 -4abc^2+2(ab)^2 = 2(c^2-ab)^2

Γεγονός που αποδεικνύει το ζητούμενο

Tolaso J Kos · #5

Soteris έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 04, 2017 1:26 pm
Πρόβλημα 3

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A=\frac{12345^2}{54321\cdot 66666}+\frac{54321^2}{12345\cdot 66666}-\frac{66666^2}{12345\cdot 54321}}$

Έχουμε διαδοχικά:
$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{A} &= \frac{12345^2}{54321 \cdot 66666} + \frac{54321^2}{12345 \cdot 66666} - \frac{66666^2}{12345 \cdot 54321} \\\\ &= \frac{12345^3}{1234 \cdot 54321 \cdot 66666} + \frac{54321^3}{54321 \cdot 12345 \cdot 66666} - \frac{66666^3}{66666 \cdot 12345 \cdot 54321}\\\\ &= \frac{12345^3 + 54321^3 -66666^3}{54321 \cdot 12345 \cdot 66666} \\\\ &=- \frac{3 \cdot 12345 \cdot 54321 \cdot 66666}{12345 \cdot 54321 \cdot 66666} \\ &=-3 \end{aligned}}$
διότι είναι 12345 + 54321 - 66666 =0

οπότε $12345^3 + 54321^3 - 66666^3 = - 3 \cdot 12345 \cdot 54321 \cdot 66666$ .

Βέβαια οι αριθμοί δε παίζουν κανένα ρόλο. Μπορούμε να το κάνουμε με $\alpha , \beta , \gamma$ τέτοιους ώστε $\alpha + \beta + \gamma=0$ οπότε και θα ισχύει $\alpha^3 + \beta + \gamma^3 = 3 \alpha \beta \gamma$ .

#6

Soteris έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 04, 2017 1:26 pm
Γ΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 4

Έστω $\displaystyle{\alpha, \beta, \gamma}$ ακέραιοι αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι $\displaystyle{\alpha+\beta+\gamma=0}$ .
Να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\alpha^4+\beta^4+\gamma^4}{2}}$ είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου αριθμού.

$\displaystyle \alpha + \beta = - \gamma \Rightarrow {(\alpha + \beta )^4} = {\gamma ^4}$

$\displaystyle \frac{{{\alpha ^4} + {\beta ^4} + {\gamma ^4}}}{2} = \frac{{{\alpha ^4} + {\beta ^4} + {{(\alpha + \beta )}^4}}}{2} = \frac{{{\alpha ^4} + {\beta ^4} + {{({\alpha ^2} + 2\alpha \beta + {\beta ^2})}^2}}}{2} =$

$\displaystyle \frac{{{\alpha ^4} + {\beta ^4} + {{({\alpha ^2} + {\beta ^2})}^2} + 4{\alpha ^2}{\beta ^2} + 4\alpha \beta ({\alpha ^2} + {\beta ^2})}}{2} = \frac{{2{{({\alpha ^2} + {\beta ^2})}^2} + 2{\alpha ^2}{\beta ^2} + 4\alpha \beta ({\alpha ^2} + {\beta ^2})}}{2} =$

$\displaystyle {({\alpha ^2} + {\beta ^2})^2} + 2\alpha \beta ({\alpha ^2} + {\beta ^2}) + {\alpha ^2}{\beta ^2} = {({\alpha ^2} + \alpha \beta + {\beta ^2})^2}$

#7

Soteris έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 04, 2017 1:26 pm
Γ΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 2

Στο πιο κάτω σχήμα το $\displaystyle{AB\Gamma\Gelta}$ είναι τετράγωνο πλευράς $\displaystyle{1\; cm}$ και το $\displaystyle{AE\Gamma}$ είναι τόξο με κέντρο το $\displaystyle{\Delta}$ και ακτίνα $\displaystyle{\Delta\Gamma}$ . Ο κύκλος με κέντρο το $\displaystyle{K}$ και ακτίνα $\displaystyle{KE}$ εφάπτεται στις πλευρές $\displaystyle{AB, B\Gamma}$ και στο τόξο $\displaystyle{AE\Gamma}$ .

(α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{(KE)=(3-2\sqrt{2})\; cm}$ .
(β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής

: Παγκύπριος 2017 (Γ. Γυμνάσιο).II.png (11.09 KiB) Προβλήθηκε 1505 φορές

α) Έστω $\rho$ η ακτίνα του κύκλου. Με Πυθαγόρειο βρίσκω ότι $B\Delta =\sqrt 2$ και $\displaystyle {\rm B}\Delta = 1 + \rho + {\rm B}{\rm K} \Leftrightarrow {\rm B}{\rm K} = \sqrt 2 - \rho - 1$

$\displaystyle {\rm K}{\rm Z}||\Delta \Gamma \Leftrightarrow \frac{\rho }{1} = \frac{{{\rm B}{\rm K}}}{{{\rm B}\Delta }} \Leftrightarrow \rho = \frac{{\sqrt 2 - \rho - 1}}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \rho \sqrt 2 + \rho = \sqrt 2 - 1 \Leftrightarrow \rho (\sqrt 2 + 1) = \sqrt 2 - 1 \Leftrightarrow$

$\displaystyle \rho = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 1}} = \frac{{{{(\sqrt 2 - 1)}^2}}}{{(\sqrt 2 + 1)(\sqrt 2 - 1)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\rho = (3 - 2\sqrt 2 )cm}$

β) Έστω

το ζητούμενο εμβαδόν, E_T

το εμβαδόν του τεταρτοκυκλίου και E_k

το εμβαδόν του κύκλου.

$\displaystyle S = ({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ) - {E_T}-{E_k} } = 1 - \frac{\pi }{4} - \pi {(3 - 2\sqrt 2 )^2} = 1 - \frac{\pi }{4} - \pi (17 - 12\sqrt 2 ) \Leftrightarrow$

$\boxed{S = \frac{{4 - (69 - 48\sqrt 2 )\pi }}{4}c{m^2}}$

Filippos Athos · #8

Α΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 2

Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Το $\displaystyle{A\Delta}$ είναι ύψος του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ , το $\displaystyle{E}$ είναι το μέσο του $\displaystyle{\Delta\Gamma}$ και το $\displaystyle{Z}$ είναι σημείο του $\displaystyle{A\Delat}$ , ώστε το μήκος του $\displaystyle{\Delta Z}$ να είναι διπλάσιο από το μήκος του $\displaystyle{AZ}$ . Αν το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{ABZ}$ είναι $\displaystyle{5\; cm^2}$ και το εμβαδόν του τετραπλεύρου $\displaystyle{A\Gamma EZ}$ είναι $\displaystyle{30\; cm^2}$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{BEZ}$ .

Pagk_A2.png

Εφόσον το μήκος του $\displaystyle{\displaystyle{\Delta Z}}$ είναι διπλάσιο από το μήκος του $\displaystyle{\displaystyle{AZ}}$ , το $\displaystyle{E\bigtriangleup B\Delta Z=2E\bigtriangleup ABZ=2\cdot 5=10 cm^2}$

Προσθέτουμε την βοηθητική γραμμή $\displaystyle{AE}$ . Γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{\displaystyle{E}}$ είναι το μέσο του $\displaystyle{\displaystyle{\Delta\Gamma}}$ επομένως $\displaystyle{E\bigtriangleup A\Delta E=E\bigtriangleup AE\Gamma}$

$E\bigtriangleup AE\Gamma =30- \frac{1}{3} E\bigtriangleup A\Delta E=E\bigtriangleup A\Delta E$
$\frac{4}{3}E\bigtriangleup A\Delta E=30cm^{2}$

$E\bigtriangleup A\Delta E=\frac{90}{4}cm^{2}$

$E\bigtriangleup Z\Delta E=\frac{2}{3}E\bigtriangleup A\Delta E=\frac{2}{3}\cdot \frac{90}{4}=15cm^{2}$
$\boxed { E\bigtriangleup BEZ=E\bigtriangleup B\Delta Z+E\bigtriangleup Z\Delta E=10+15=25cm^{2}}$

Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

Μέλη σε σύνδεση