Αθροίσματα δυνάμεων φυσικών

#1

Δείξτε για τους

διαδοχικούς αρχικούς θετικούς φυσικούς την ταυτότητα

(1^5+2^5+...+n^5)+(1^7+2^7+...+n^7)= 2(1+2+...+n)^4

Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μικρούς μας φίλους.

#2

Ανοικτή σε όλους.

Είναι αρκετά απλή και δεν θα έπρεπε κανείς μαθητής (έστω επιπέδου Ολυμπιάδων Γυμνασίου) να έχει δυσκολία.

Al.Koutsouridis · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 24, 2017 1:02 am
Δείξτε για τους διαδοχικούς αρχικούς θετικούς φυσικούς την ταυτότητα

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μικρούς μας φίλους.

Μάλλον κάτι άλλο έχει κατά νου ο κ.Λάμπρου, αλλά ας προσπαθήσουμε με επαγωγή...

Για n=1

προφανώς ισχύει η δοθείσα σχέση. Έστω ότι ισχύει και για n=k

δηλαδή

Για ευκολία στις πράξεις θα θεωρήσουμε γνωστή την εξής σχέση (βγαίνει και χωρίς αυτήν αλλά με παραπάνω πράξεις)

$1^3+2^3+ \cdots k^3 = (\dfrac{k(k+1)}{2})^2$ και $1+2+ \cdots +k = k(k+1)/2$

Οπότε η προς απόδειξη σχέση γράφεται

(1^5+2^5+...+k^5)+(1^7+2^7+...+k^7)= 2(1^3+2^3+...+k^3)^2

την οποία αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει και για n=k+1

. Πράγματι

$(1^5+2^5+...+k^5+(k+1)^5)+(1^7+2^7+...+k^7+(k+1)^7)= 2(1^3+2^2+...+k^3+(k+1))^3)^2 \Leftrightarrow$

$(1^5+2^5+...+k^5)+(1^7+2^7+...+k^7)+(k+1)^5+(k+1)^7= 2(1^3+2^2+...+k^3)^2+2 \cdot 2(1^3+2^2+...+k^3)(k+1)^3 +2(k+1)^6 \Leftrightarrow$

$(k+1)^5+(k+1)^7= 2 \cdot 2(1^3+2^2+...+k^3)(k+1)^3 +2(k+1)^6 \Leftrightarrow$

$(k+1)^5+(k+1)^7= 4(\dfrac{k(k+1)}{2})^2(k+1)^3 +2(k+1)^6 \Leftrightarrow$

$(k+1)^5+(k+1)^7= 4 \cdot (\dfrac{k^2(k+1)^2}{4})(k+1)^3 +2(k+1)^6 \Leftrightarrow$

$(k+1)^5+(k+1)^7= k^2(k+1)^5 +2(k+1)^6 \Leftrightarrow$

$1+(k+1)^2= k^2 +2(k+1) \Leftrightarrow$

k^2+2k+2= k^2 +2k+2

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 26, 2017 9:31 am
Είναι αρκετά απλή και δεν θα έπρεπε κανείς μαθητής (έστω επιπέδου Ολυμπιάδων Γυμνασίου) να έχει δυσκολία.

Επαγωγή είχα κατά νου, γι' αυτό έγραψα το παραπάνω (κοκκινισμένο). Έψαχνα όμως οικονομική λύση:

Θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle{S_n = (1^7+2^7+...+n^7) + (1^5+2^5+...+n^5)- \frac {1}{8} n^4(n+1)^4=0}$ για κάθε

. Ισχύει για n=1

.
Επίσης, για το επαγωγικό βήμα με υπόθεση S_n=0

έχουμε

$\displaystyle{S_{n+1} = S_{n+1} -S_{n} = (n+1)^7+(n+1)^5- \frac {1}{8} (n+1)^4(n+2)^4 + \frac {1}{8} n^4(n+1)^4= }$

$\displaystyle{= \frac {1}{8} (n+1)^4\left [ 8(n+1)^3 + 8(n+1) -(n+2)^4 + n^4\right ]}$ και η παράσταση μέσα στην αγκύλη ισούται

$\displaystyle{ (8n^3+24n^2+24n+8)+(8n+8)-(n^4+8n^3+24n^2+32n+16)+n^4=0}$ . Και λοιπά.

Al.Koutsouridis · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 27, 2017 11:54 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 26, 2017 9:31 am
Είναι αρκετά απλή και δεν θα έπρεπε κανείς μαθητής (έστω επιπέδου Ολυμπιάδων Γυμνασίου) να έχει δυσκολία.
Επαγωγή είχα κατά νου, γι' αυτό έγραψα το παραπάνω (κοκκινισμένο). Έψαχνα όμως οικονομική λύση:

Θεώρησα ότι η επαγωγή είναι εκτός ύλης (αν και δε μου αρέσουν αυτές οι εκφράσεις) για τον Θαλή/Ευκλείδη Γυμνασίου.

Ας δούμε και μια γενίκευση του παραπάνω θέματος εδώ.

Αθροίσματα δυνάμεων φυσικών

Αθροίσματα δυνάμεων φυσικών

Re: Αθροίσματα δυνάμεων φυσικών

Re: Αθροίσματα δυνάμεων φυσικών

Re: Αθροίσματα δυνάμεων φυσικών

Re: Αθροίσματα δυνάμεων φυσικών

Μέλη σε σύνδεση