Ορθογώνιο τρίγωνο 17.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (7.16 KiB) Προβλήθηκε 1142 φορές

Καλησπέρα.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ του παραπάνω σχήματος, η είναι διχοτόμος της $\angle A$ .
Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

Σταμ. Γλάρος · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Τρί Δεκ 12, 2017 8:04 pm 1.png

Καλησπέρα.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ του παραπάνω σχήματος, η είναι διχοτόμος της $\angle A$ .
Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...

: Ορθογώνιο τρίγωνο 17.png (11.29 KiB) Προβλήθηκε 1130 φορές

Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ABH

έχουμε

.
Εφαρμόζοντας θεώρημα Διχοτόμων στο τρίγωνο ABH

έχουμε : $\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{HE}{BE}$ από όπου προκύπτει $HE=\dfrac{24}{5}$ .
Τώρα από την ομοιότητα των τριγώνων AHE

και

προκύπτει $BP=\dfrac{51}{5}$ .
Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο ABP

έχουμε $AP=\dfrac{17}{5}\cdot \sqrt{34}$ .
Πάλι από Πυθαγόρειο θεώρημα στο AHE

έχουμε $AE=\dfrac{8}{5}\cdot \sqrt{34}$ .
Αρα $PE=\dfrac{9}{5}\cdot \sqrt{34}$ .
Τέλος από την ομοιότητα των τριγώνων AHE

και

έχουμε : $\dfrac{AE}{PE}=\dfrac{AH}{NP}$ από όπου προκύπτει NP=9

.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#3

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle HBA$ έχω BH = 15

. Από το Θ διχοτόμου στο ίδιο τρίγωνο έχω : $KH = \dfrac{{24}}{5}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KB = \dfrac{{51}}{5}$ .

Αν

η τομή των $AP\,\,,BH$ θέτω: $BN = m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MK = u\,,\,KH = y = \dfrac{{24}}{5}$ .
( Το $\vartriangle BKP$ είναι ισοσκελές αλλά θα αποφύγω να το χρησιμοποιήσω).

Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα $HBA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NPB$ είναι προφανώς όμοια καθώς και τα $HKA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NKP$ θα έχω ταυτόχρονα:

: Ορθογώνιο τρίγωνο 18_Φάνης.png (24.24 KiB) Προβλήθηκε 1128 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \frac{{NP}}{{NB}} = \frac{{BH}}{{AH}} \hfill \\ \frac{{NP}}{{AH}} = \frac{{NK}}{{KH}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{x}{m} = \frac{{15}}{8} \hfill \\ \frac{x}{8} = \frac{u}{y} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{x}{m} = \frac{{15}}{8}\,\,\,(1) \hfill \\ \frac{x}{8} = \frac{{\dfrac{{51}}{5} - m}}{{\dfrac{{24}}{5}}} = \dfrac{{51 - 5m}}{{24}}\,\,(2) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα απαλείφοντας το

από τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ έχω $\boxed{x = 9}$

Δείτε Όμως κι αυτό

: Ορθογώνιο τρίγωνο 18_b_Φανης.png (17.36 KiB) Προβλήθηκε 1124 φορές

$\boxed{BK = BP = PT = NH \Rightarrow u = \frac{{51}}{5} - \frac{{24}}{5} = \frac{{27}}{5}}$ κ. λ. π.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Τρί Δεκ 12, 2017 8:04 pm 1.png

Καλησπέρα.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ του παραπάνω σχήματος, η είναι διχοτόμος της $\angle A$ .
Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

Με $\displaystyle BD \bot AP \Rightarrow BA = AD = 17 \Rightarrow \boxed{HD = 9}$ και $\displaystyle F$ ορθόκεντρο του $\displaystyle \vartriangle BAD \Rightarrow DF \bot AB \Rightarrow DF//BP$

Οι πράσινες γωνίες είναι ίσες ως συμπληρώματα της $\displaystyle \angle \frac{A}{2}$ άρα $\displaystyle BF = BP$ κι επειδή

$\displaystyle BF = FD \Rightarrow FD = //BP \Rightarrow BPDF$ ρόμβος $\displaystyle \Rightarrow PD \bot AC \Rightarrow NPDH$ ορθογώνιο ,άρα $\displaystyle \boxed{NP = HD = 9}$

: OT17.png (9.99 KiB) Προβλήθηκε 1111 φορές

Ιστοσελίδα · #5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Τρί Δεκ 12, 2017 8:04 pm

Καλησπέρα.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ του παραπάνω σχήματος, η είναι διχοτόμος της $\angle A$ .
Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

: Ορθογώνιο-τρίγωνο-17.png (13.39 KiB) Προβλήθηκε 1108 φορές

Αν

, τότε από $\triangleleft PBN \sim \triangleleft BAH \Rightarrow BN = 8k$

Θέτω $M \equiv AP \cap BH$ και από θεώρημα διχοτόμου θα είναι $NM = 9k,\,MH = 8k$

Τέλος, από $\triangleleft PNM \sim \triangleleft AHM \Rightarrow PN = 9$

#6

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: Τετ Δεκ 13, 2017 12:06 am
Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Τρί Δεκ 12, 2017 8:04 pm 1.png

Καλησπέρα.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ του παραπάνω σχήματος, η είναι διχοτόμος της $\angle A$ .
Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

Με $\displaystyle BD \bot AP \Rightarrow BA = AD = 17 \Rightarrow \boxed{HD = 9}$ και $\displaystyle F$ ορθόκεντρο του $\displaystyle \vartriangle BAD \Rightarrow DF \bot AB \Rightarrow DF//BP$

Οι πράσινες γωνίες είναι ίσες ως συμπληρώματα της $\displaystyle \angle \frac{A}{2}$ άρα $\displaystyle BF = BP$ κι επειδή

$\displaystyle BF = FD \Rightarrow FD = //BP \Rightarrow BPDF$ ρόμβος $\displaystyle \Rightarrow PD \bot AC \Rightarrow NPDH$ ορθογώνιο ,άρα $\displaystyle \boxed{NP = HD = 9}$

OT17.png

Η πιο ανώδυνη σε πράξεις και όχι μόνο λύση.!

Φανης Θεοφανιδης · #7

Στο σχήμα του Μιχάλη Νάννου.
Από την ομοιότητα των τριγώνων MNP, MHA

έχω ότι:
$\dfrac{NP}{AH}=\dfrac{MP}{AM}\Rightarrow$
$\Rightarrow AM=\dfrac{MP\cdot AH}{NP} (1)$ .
Από την ομοιότητα των τριγώνων ABP, MNP

παίρνω ότι:
$\dfrac{AB}{NP}=\dfrac{AP}{MP}\Rightarrow$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{NP}=\dfrac{AM+MP}{MP}\Rightarrow$
$\Rightarrow NP=AB-AH$ (λόγω της (1)

) $\Rightarrow$
$\Rightarrow NP=9$ .

makman94 · #8

Από Π.Θ. στο $\triangle ABH$ προκύπτει BH=15

Από Θ.Διχοτόμων στο $\triangle ABH$ έχουμε: $\frac{BK}{BK+KH}=\frac{AB}{AB+AH}\Leftrightarrow \frac{BK}{15}=\frac{17}{25}\Leftrightarrow BK=\frac{51}{5}$

$\triangle BKP$ είναι ισοσκελές ( $\measuredangle BKP=\measuredangle BPK=90°-a$ ) άρα $BP=BK=\frac{51}{5}$

Τα $\triangle ABH$ και $\triangle BNP$ είναι όμοια οπότε έχουμε: $\frac{NP}{BP}=\frac{BH}{AB}\Leftrightarrow NP=\frac{BH}{AB}*BP\Leftrightarrow NP=\frac{15}{17}*\frac{51}{5}\Leftrightarrow NP=9$

Ορθογώνιο τρίγωνο 17.

Ορθογώνιο τρίγωνο 17.

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 17.

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 17.

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 17.

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 17.

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 17.

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 17.

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 17.

Μέλη σε σύνδεση