Γενίκευση του ΘΜΤΔΛ

dgk · #1

Το ΘΜΤ τού Διαφορικού Λογισμού καθώς κι άλλες εφαρμογές μπορούν να προκύψουν από την παρακάτω Πρόταση, επιλέγοντας κατάλληλα τη συνάρτηση

.

Πρόταση. Έστω $f:\left[ \alpha ,\beta \right] \rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο $\left[ \alpha ,\beta \right]$ και παραγωγίσιμη στο $\left( \alpha ,\beta \right) .$ Θέτουμε, $\displaystyle{ l=\frac{f\left( \beta \right) -f\left( \alpha \right) }{\beta -\alpha }. }$
Αν

είναι συνάρτηση ορισμένη σε μια περιοχή τού

συνεχής στο

με $g\left( l\right) =l,$ για την οποία είτε δεν υπάρχει αριστερή περιοχή τού

όπου εκεί είναι η ταυτοτική, είτε δεν υπάρχει δεξιά περιοχή τού

όπου εκεί είναι η ταυτοτική, τότε, υπάρχουν $\xi _{1},$ $\xi _{2}\in \left( \alpha ,\beta \right)$ με $\xi _{1}\neq \xi _{2},$ τέτοια, ώστε, $\displaystyle{ f^{\prime }\left( \xi _{2}\right) =g\left( f^{\prime }\left( \xi _{1}\right) \right) . }$

Εφαρμογές. Υποθέτουμε ότι $f:\left[ \alpha ,\beta \right] \rightarrow \mathbb{R}$ είναι μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο $\left[ \alpha ,\beta \right]$ και παραγωγίσιμη στο $\left( \alpha ,\beta \right)$ . Έστω, $\displaystyle{ l=\frac{f\left( \beta \right) -f\left( \alpha \right) }{\beta -\alpha }. }$

1) Υπάρχει $\xi\in \left( \alpha ,\beta \right)$ τέτοιο, ώστε, $l=f^{\prime }\left( \xi)$

2) Υπάρχουν $\xi _{1}, \xi _{2}\in \left( \alpha ,\beta \right)$ με $\xi _{1}\neq \xi _{2}$ , τέτοια, ώστε, $l=\dfrac{f^{\prime }\left( \xi _{1}\right) +f^{\prime }\left( \xi _{2}\right) }{2}$

3) Υπάρχουν $\xi _{1}, \xi _{2}\in \left( \alpha ,\beta \right)$ με $\xi _{1}\neq \xi _{2}$ , τέτοια, ώστε, $\left\vert l\right\vert =\sqrt{f^{\prime }\left( \xi _{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( \xi _{2}\right) }$

4) Αν επιπλέον, $l\neq0$ , τότε, υπάρχουν $\xi _{1}, \xi _{2}\in \left( \alpha ,\beta \right)$ με $\xi _{1}\neq \xi _{2}$ , τέτοια, ώστε, $l=\dfrac{2}{\dfrac{1}{f^{\prime }\left( \xi _{1}\right) }+\dfrac{1}{% f^{\prime }\left( \xi _{2}\right) }}$

Για την 1), θέτουμε $g\left( x\right) =l$ .
Για τη 2), θέτουμε $g\left( x\right) =2l-x$ .
Για την 3), παρατηρούμε ότι προκύπτει από την 1) όταν l=0

, ενώ θέτουμε $g\left( x\right) =\dfrac{l^{2}}{x}$ όταν $l\neq0$ .
Τέλος, για την 4), θέτουμε, $g\left( x\right) =\dfrac{l}{2-\dfrac{l}{x}}$

Ιστοσελίδα · #2

Η σύνθεση gof ' ορίζεται πάντα ή πρέπει να βρούμε μία κατάλληλη συνάρτηση g και ποιος μας εξασφαλίζει την ύπαρξή της σε αυτήν την περίπτωση;

dgk · #3

polysot έγραψε:Η σύνθεση gof ' ορίζεται πάντα ή πρέπει να βρούμε μία κατάλληλη συνάρτηση g και ποιος μας εξασφαλίζει την ύπαρξή της σε αυτήν την περίπτωση;

Αν f ' (x)=l για κάθε x στο (α,β) προφανώς η σύνθεση ορίζεται στο (α,β). Σε διαφορετική περίπτωση, με χρήση τού Θεωρήματος Darboux, μπορεί, πάλι, να αποδειχτεί ότι το πεδίο ορισμού της σύνθεσης gof ' είναι μη κενό. Στο Θεώρημα Darboux, άλλωστε, στηρίζεται κι η απόδειξη τής ίδιας τής Πρότασης.

Γενίκευση του ΘΜΤΔΛ

Γενίκευση του ΘΜΤΔΛ

Re: Γενίκευση του ΘΜΤΔΛ

Re: Γενίκευση του ΘΜΤΔΛ

Μέλη σε σύνδεση