Πλήρης ανυπαρξία

KARKAR · #1

Δείξτε ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι a,b

, τέτοιοι ώστε : $\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{x}dx=2018$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 30, 2017 8:02 pm
Δείξτε ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι , τέτοιοι ώστε : $\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{x}dx=2018$

Θέλουμε φυσικούς με $\displaystyle{\frac {2}{3} (\sqrt {b^3} - \sqrt {a^3} )= 2018 }$ , ισοδύναμα $\displaystyle{\sqrt {b^3} - \sqrt {a^3} = 3027 , \, (*)}$ .

Πρώτα από όλα θα είναι $\displaystyle{\sqrt {b^3} + \sqrt {a^3} = \frac {b^3-a^3}{\sqrt {b^3} - \sqrt {a^3} } = }$ ρητός. Προσθαφαιρώντας με την
(*)

θα είχαμε $\displaystyle{\sqrt {a^3} }$ και $\displaystyle{\sqrt {b^3} }$ ρητοί και οι δύο, οπότε a^3, b^3

τέλεια τετράγωνα και οι δύο.

Από την a^3= A^2, b^3= B^2

εύκολα δείχνουμε ότι οι a,b

πρέπει να είναι έκτες δυνάμεις (άμεσο από την μοναδικότητα της ανάλυσης των a, b, A, B

σε πρώτους).

Θα είχαμε λοιπόν $a=C^6, \, b= D^6$ και η (*)

γίνεται $D^9-C^9= 3027 = 3\cdot 1009$ (= ανάλυση σε πρώτους). Άρα

$(D-C)(D^2+DC+C^2)(D^6+D^3C^3+C^6)= 3\cdot 1009$

'Αρα $D-C =1, \, D^2+DC+C^2=3, D^6+D^3C^3+C^6 =1009$ που είναι αδύνατο: Π.χ. η δεύτερη δίνει C=D=1

που δεν ικανοποιεί τις άλλες.

Πλήρης ανυπαρξία

Πλήρης ανυπαρξία

Re: Πλήρης ανυπαρξία

Μέλη σε σύνδεση