Διασταυρώνονται στον κύκλο

[Doloros]

Διασταυρώνονται στον κύκλο.png (17.46 KiB) Προβλήθηκε 1538 φορές

Δίδεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο . Στη πλευρά κινείται σημείο .

Ο κύκλος , κέντρου , που διέρχεται από τα σημεία τέμνει , ακόμα , την στο σημείο .

Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία τέμνει, ακόμα, τον κύκλο στο σημείο .

Δείξετε ότι η και το ύψος του διασταυρώνονται πάνω στον κύκλο .

(Καμιά φραγή στις λύσεις)

[vittasko]

Ορίζουμε ως το ύψος του δοσμένου τριγώνου ( αντί του της εκφώνησης ) και ως τον περίκυκλο του τριγώνου ( αντί του της εκφώνησης ).

Έστω το σημείο .

Οι ευθείες είναι αντιπαράλληλες μεταξύ τους, ως προς τις ευθείες της γωνίας και άρα, έχουμε όπου είναι το κέντρο του κύκλου και όπου είναι το κέντρο του κύκλου .

Άρα, το σημείο ανήκει στην ευθεία και επομένως, από , προκύπτει ότι οι ευθείες συντρέχουν στο σημείο έστω , ως το αντιδιαμετρικό σημείο του στον κύκλο .

Αρκεί τώρα να αποδειχθεί ότι το κέντρο του κύκλου της εκφώνησης, ανήκει στην ευθεία .

Διασταυρώνονται στον κύκλο.

f=178_t=60758.png (32.38 KiB) Προβλήθηκε 1443 φορές

H δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την κοινή χορδή των κύκλων , περνάει από το κέντρο του κύκλου , το ίδιο όπως και η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την κοινή χορδή των κύκλων .

H δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την όμως, ως παράλληλη της , περνάει επίσης από το μέσον του τμήματος , λόγω , το ίδιο ίδιο όπως και η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την , ως παράλληλη της , από .

Συμπεραίνεται έτσι, ότι το κέντρο του κύκλου , ως ταυτιζόμενο με το μέσον του τμήματος , ανήκει στην ευθεία και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. H πρόταση αυτή είναι γενίκευση άλλης όπου τα σημεία ταυτίζονται με τα ίχνη των αντίστοιχων υψών και το σημείο τότε, ταυτίζεται με το μέσον της πλευράς που έχουμε δει παλιότερα στο .

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Διασταυρώνονται στον κύκλο.png (42.36 KiB) Προβλήθηκε 1489 φορές

Διαφορετικά:

Έστω ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τέμνει την στο . Θα αποδείξουμε πως τα σημεία είναι συνευθειακά, που ισοδυναμεί με το αρχικό πρόβλημα.

Θεωρούμε την αντιστροφή με πόλο το και δύναμη .

Παρατηρούμε πως το πάει στο , ενώ το πάει στο . Τονίζουμε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του παραμένει σταθερός μετά την αντιστροφή!

Φέρνουμε τον κύκλο αντιστροφής (είναι ο κύκλος με κέντρο και ακτίνα ). Από την παραπάνω παρατήρηση προκύπτει ότι ο κύκλος της αντιστροφής και ο περιγεγραμμένος κύκλος του είναι ορθογώνιοι.

Για δύο ορθογώνιους κύκλους ισχύει ότι η πολική ευθεία του κέντρου του ενός κύκλου στον άλλον κύκλο ταυτίζεται με την πολική ευθεία του άλλου κέντρου στον πρώτο κύκλο. Ειδικότερα η πολική ευθεία του στον κύκλο της αντιστροφής ταυτίζεται με την πολική του στον περιγεγραμμένο κύκλο του .

Ισχύει ακόμα πως το αντίστροφο του , έστω , είναι η τομή της με την πολική του στον κύκλο αντιστροφής. Άρα σύμφωνα με τα παραπάνω προκύπτει ότι το είναι η τομή της με την πολική του στον περιγεγραμμένο κύκλο του . Μάλιστα η πολική αυτή θα τέμνει την κάθετα.

Παρατηρούμε ακόμη πως o περιγεγραμμένος κύκλος του γίνεται η και αντίστροφα, ενώ ο περιγεγραμμένος κύκλος του γίνεται η .

Επομένως το αντίστροφο του , έστω , γίνεται η τομή των και .

Ακόμη το γίνεται το .

Ξέρουμε ότι το ανήκει στην πολική του ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του (γνωστό λήμμα).

Επομένως η πολική του ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του είναι η , η οποία είναι κάθετη λοιπόν στην . Άρα .

Προφανώς ισχύει ότι , αφού το είναι ύψος.

Επομένως το είναι εγγράψιμο. Αφού τα αντίστροφα των είναι ομοκυκλικά με τον πόλο , θα ισχύει ότι τα είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έπεται.

[george visvikis]

Διασταυρώνονται στον κύκλο.png

Δίδεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο . Στη πλευρά κινείται σημείο .

Ο κύκλος , κέντρου , που διέρχεται από τα σημεία τέμνει , ακόμα , την στο σημείο .

Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία τέμνει, ακόμα, τον κύκλο στο σημείο .

Δείξετε ότι η και το ύψος του διασταυρώνονται πάνω στον κύκλο .

(Καμιά φραγή στις λύσεις)

Στον κύκλο.Φ.png (27.44 KiB) Προβλήθηκε 1454 φορές

Έστω η ακτίνα του κύκλου και το σημείο τομής του ύψους με τον κύκλο Θα δείξω ότι τα σημεία

είναι συνευθειακά. Λόγω των εγγεγραμμένων τετραπλεύρων είναι Άρα το

είναι εγγράψιμο και Αρκεί να δείξω ότι

Οι συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των τριών κύκλων. Αλλά είναι το σημείο του εγγεγραμμένου
τετραπλεύρου , οπότε και το είναι εγγράψιμο. Επομένως:

[vittasko]

... Επομένως:

Αφού αναφερόμαστε στο Θεώρημα Miquel, νομίζω ότι είναι έγκυρο να πούμε ότι προκύπτει άμεσα το αποτέλεσμα ( χαρακτηριστική ιδιότητα του Σημείου Miquel, στο εγγράψιμο τετράπλευρο ).

Κώστας Βήττας.

[silouan]

Την έχουμε δει και εδώ: (και ίσως και σε άλλο μέρος) http://mathematica.gr/forum/viewtopic.p ... uel#p17503
Η άσκηση είναι από την ΙΜΟ του 1985. https://artofproblemsolving.com/communi ... 787p366594