Πόσα 1 και 0;

Κατερινόπουλος Νικόλας · #1

Βρήκα μια ωραία άσκηση και είπα να την μοιραστώ!

Δίνεται αριθμός με 2016

μηδενικά που είναι γραμμένος ως 101010 ... 0101

, στον οποίο το

και το

εναλλάσσονται. Αποδείξτε ότι αυτός ο αριθμός δεν είναι πρώτος.

#2

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 12, 2018 4:32 pm
Δίνεται αριθμός με μηδενικά που είναι γραμμένος ως , στον οποίο το και το εναλλάσσονται. Αποδείξτε ότι αυτός ο αριθμός δεν είναι πρώτος.

.
Ο αριθμός αυτός των 2016+2017=4033

ψηφίων, γράφεται ως $1+100 + 100^2+...+ 100^{2016}$ .

Ως γεωμετρική πρόοδος ισούται με $\displaystyle{ \dfrac {100^{2017} -1}{100-1} = \dfrac {10^{4034}-1 }{99} = \dfrac {10^{2017}-1 }{9}\cdot \dfrac {10^{2017}+1}{11}}$ . Θα δούμε ότι και τα δύο κλάσματα είναι, τελικά, ακέραιοι, οπότε ο αριθμός είναι σύνθετος. Προχωράμε με δύο τρόπους, ο καθένας με τα πλεονεκτήματά του:

α) Το πρώτο κλάσμα γράφεται $\displaystyle{ \dfrac {999...999}{9} = 111...111}$ . Το δεύτερο είναι επίσης ακέραιος από το κριτήριο διαιρετότητας του

(έχει έναν άσσο σε άρτια θέση και έναν σε περιττή).

β) Αλλιώς, πάλι από γεωμετρικές προόδους, είναι $\displaystyle{ \dfrac {10^{2017}-1 }{9} = \dfrac {10^{2017}-1 }{10-1}= 1+10 + ... + 10^{2016}}$ και

$\displaystyle{ \dfrac {10^{2017}+1}{11} = \dfrac {10^{2017}+1}{10+1} = 10^{2016}-10^{2015}+... -10+1 }$ , πάντως ακέραιοι

και οι δύο.

Σχολιάζω ότι η απόδειξη γενικεύεται για όλους τους αριθμούς της παραπάνω μορφής αλλά με 4N+1

ψηφία στην θέση των 4033

του δοθέντος.

#3

Ας τα γενικεύσουμε.

Θα δούμε ότι όλοι οι αριθμοί της μορφής $10101...0101= \sum_{k=0}^{N} 100^k=\sum_{k=0}^{N} 10^{2k}$ είναι σύνθετοι, εκτός του 101

. Για αριθμούς με 4N+1

ψηφία, ουσιαστικά το είδαμε στο προηγούμενο ποστ. Για αριθμούς με 4N+3

θα δείξουμε ότι είναι όλοι πολλαπάσια του 101

.

Ακόμα καλύτερα, θα δούμε ότι όλα τα πολυώνυμα της μορφής $\displaystyle{1+x^2+x^4+...+ x^{2N}}$ παραγοντοποιούνται ως γινόμενο δύο ακέραιων πολυωνύμων βαθμού $\ge 2$ . Για x=10

έχουμε τα παραπάνω.

α) Για

άρτιος,

, έχουμε

$\displaystyle{1+x^2+x^4+...+ x^{4M} = \frac {(x^2)^{2M+1}-1}{x^2-1} = \frac {x^{2M+1}-1}{x-1}\cdot \frac {x^{2M+1}+1}{x+1} }$

$\displaystyle{=(1+x+x^2+...+ x^{2M}) (1-x+x^2-...+ x^{2M})}$

β) Για

περιττός,

, έχουμε

$\displaystyle{1+x^2+x^4+...+ x^{4M+2} = (1+x^2)+x^4(1+x^2)+...+x^{4M}(1+x^{2}) = (1+x^2)(1+x^4+...+x^{4M}) }$

(άλλος τρόπος: εύκολα βλέπουμε ότι το αριστερό μέλος μηδενίζεται για $x=\pm i$ , άρα έχει παράγοντα τον (x-i)(x+i)=x^2+1

και λοιπά).

Πόσα 1 και 0;

Πόσα 1 και 0;

Re: Πόσα 1 και 0;

Re: Πόσα 1 και 0;

Μέλη σε σύνδεση