Putnam 1992/B1
Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Putnam 1992/B1
Έστω θετικός ακέραιος με , και έστω ένα σύνολο από διακεκριμένους ακεραίους. Έστω το σύνολο όλων των αριθμών που μπορούν να προκύψουν ως ο μέσος όρος δύο στοιχείων του .
Να βρεθεί το ελάχιστο δυνατό μέγεθος του .
Να βρεθεί το ελάχιστο δυνατό μέγεθος του .
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Putnam 1992/B1
Θεωρούμε τους αριθμούς που ανήκουν στο , έτσι ώστε .
Παρατηρούμε πως .
Αυτοί οι μέσοι όροι είναι σε πλήθος και είναι όλοι διαφορετικοί. Άρα το έχει αυτούς τους μέσους όρους τουλάχιστον, δηλαδή τουλάχιστον στοιχεία.
Θα αποδείξουμε πως υπάρχει σύνολο , έτσι ώστε το πλήθος των στοιχείων του να είναι .
Πράγματι ας θεωρήσουμε το σύνολο (Μπορούμε και μια γενικότερη αριθμητική πρόοδο).
Θεωρούμε το σύνολο των μέσων όρων της μορφής . Το πλήθος των στοιχείων του είναι .
Για οποιοδήποτε μέσο όρο με , έχουμε πως αν , τότε , ο οποίος είναι μέσος όρος του . Αν , τότε , που ανήκει στο .
Άρα κάθε μέσος όρος έχει ήδη μετρηθεί στο , άρα και πράγματι το έχει στοιχεία.
Παρατηρούμε πως .
Αυτοί οι μέσοι όροι είναι σε πλήθος και είναι όλοι διαφορετικοί. Άρα το έχει αυτούς τους μέσους όρους τουλάχιστον, δηλαδή τουλάχιστον στοιχεία.
Θα αποδείξουμε πως υπάρχει σύνολο , έτσι ώστε το πλήθος των στοιχείων του να είναι .
Πράγματι ας θεωρήσουμε το σύνολο (Μπορούμε και μια γενικότερη αριθμητική πρόοδο).
Θεωρούμε το σύνολο των μέσων όρων της μορφής . Το πλήθος των στοιχείων του είναι .
Για οποιοδήποτε μέσο όρο με , έχουμε πως αν , τότε , ο οποίος είναι μέσος όρος του . Αν , τότε , που ανήκει στο .
Άρα κάθε μέσος όρος έχει ήδη μετρηθεί στο , άρα και πράγματι το έχει στοιχεία.
Houston, we have a problem!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Putnam 1992/B1
Ωραία λύση.Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Τετ Ιαν 31, 2018 6:57 pmΘεωρούμε τους αριθμούς που ανήκουν στο , έτσι ώστε .
Παρατηρούμε πως .
Αυτοί οι μέσοι όροι είναι σε πλήθος και είναι όλοι διαφορετικοί.
Ο δικός μου τρόπος να δείξω ότι οι μέσοι όροι είναι τουλάχιστον είναι με επαγωγή: Έστω το ελάχιστο πλήθος, και ειδικά (άμεσο). Για το επαγωγικό βήμα, αν δοθέντες τότε πέρα από τους μέσους όρους των πρώτων όρων έχουμε τουλάχιστον δύο καινούργιους όταν εξετάζουμε στοιχεία, τους και . Άρα
. Αναδρομικά, . Και λοιπά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες