ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ

paylos · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f:R \to R$ για την οποία ισχύει: ${f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) + 2 = x$ για κάθε $x \in R$ .

Να βρεθεί το σύνολο τιμών της

.

(Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να βρεθεί το σύνολο τιμών της

;)

#2

paylos έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 31, 2018 7:08 am
Δίνεται η συνάρτηση $f:R \to R$ για την οποία ισχύει: ${f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) + 2 = x$ για κάθε $x \in R$ .

Να βρεθεί το σύνολο τιμών της .

(Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να βρεθεί το σύνολο τιμών της ;)

...Καλημέρα

με δύο τρόπους για αρχή...

Θεωρώντας την συνάρτηση $g:R\to R$ με $g(x)={{x}^{3}}+x+2$ η δοσμένη ισότητα γίνεται $g(f(x))=x,\,\,\,x\in R$ .

Εύκολα δείχνουμε ότι η

είναι γνήσια αύξουσα στο

(είτε με την παράγωγο αφού ${g}'(x)=3{{x}^{2}}+1$ είτε με τον ορισμό)

(1ος τρόπος)

Η

έχει σύνολο τιμών το $g(R)=(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x))=(-\infty ,\,+\infty )=R$ και έτσι από

$g(f(x))=x\Leftrightarrow g(f(x))=g({{g}^{-1}}(x)),\,\,\,x\in R$ προκύπτει ότι ${{g}^{-1}}(x)=f(x),\,\,\,x\in R$

άρα το σύνολο τιμών της

είναι το σύνολο τιμών της ${{g}^{-1}}$ άρα το

(2ος τρόπος)

Θεωρώντας την εξίσωση $f(x)=y,\,\,y\in R$ αν ${{x}_{0}}\in R$ ρίζα της τότε ισχύει

$f({{x}_{0}})=y\Leftrightarrow g(f({{x}_{0}}))=g(y)\Leftrightarrow {{x}_{0}}=g(y)$ και τότε στην

$g(f(x))=x,\,\,\,x\in R$ όπου

το ${{x}_{0}}=g(y),\,\,y\in R$ προκύπτει ότι

$g(f(g(y)))=g(y)\overset{g:'1-1'}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,f(g(y))=y$ που σημαίνει ότι το

g(y)

είναι λύση της f(x)=y

για κάθε $y\in R$ άρα το σύνολο τιμών της

είναι το το

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ

Μέλη σε σύνδεση