Πλευρική παραλληλία

#1

: Πλευρική παραλληλία.png (10.74 KiB) Προβλήθηκε 1039 φορές

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC

με $\widehat A=45^0, BC=\dfrac{3AC}{4}$ και έστω I, H

το έγκεντρο και

το ορθόκεντρο αντίστοιχα. Να δείξετε ότι IH||AB.

Γιώργος Μήτσιος · #2

Γιώργο χαιρετώ , καλημέρα σε όλους !

: 31-1-18 GV Πλευρική παραλληλία.PNG (6.94 KiB) Προβλήθηκε 971 φορές

Έστω για ευκολία $AC=4 \Rightarrow BC=3$ .Με το Ν.Σ στο ABC

: $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cdot cosA$ και για AB=x

προκύπτει η $x^{2}-4\sqrt{2}x+7=0$ με δεκτή ρίζα $AB=x=2 \sqrt{2}+1$ ( για $x=2 \sqrt{2}-1$ έπεται $\widehat{B}> 90^{0}$ Άτοπο)

Φέρω $IK\perp AB..IK=p$ (ακτίνα του έγκυκλου) .Έχουμε $\left ( ABC \right )=AB\cdot AC\cdot sin45^{0}/2=..=4+\sqrt{2}$

ημιπερίμετρο $s = \left ( a+b+c \right )/2=4+\sqrt{2}$ και $\left ( ABC \right )=s\cdot p$ συνεπώς IK=p=1

Φέρω $CHZ \perp AB$ . Το CAZ

είναι ορθ. και ισοσκελές οπότε $AZ=CZ=2\sqrt{2}$
και BZ=AB-AZ=1

δηλ

Τα ορθ. τρίγωνα AZH,BCZ

είναι όμοια άρα AH=3ZH

και με το Π.Θ έπεται ZH=1=IK

ενώ και

Tο

είναι λοιπόν ορθογώνιο και τελικά παίρνουμε $IH \parallel AB$ . Φιλικά Γιώργος.

makman94 · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 31, 2018 1:28 am
Γιώργο χαιρετώ , καλημέρα σε όλους !
31-1-18 GV Πλευρική παραλληλία.PNG
Έστω για ευκολία $AC=4 \Rightarrow BC=3$ .Με το Ν.Σ στο : $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cdot cosA$ και για

προκύπτει η $x^{2}-4\sqrt{2}x+7=0$ με δεκτή ρίζα $AB=x=2 \sqrt{2}+1$ ( για $x=2 \sqrt{2}-1$ έπεται $\widehat{B}> 90^{0}$ Άτοπο)

Φέρω $IK\perp AB..IK=p$ (ακτίνα του έγκυκλου) .Έχουμε $\left ( ABC \right )=AB\cdot AC\cdot sin45^{0}/2=..=4+\sqrt{2}$

ημιπερίμετρο $s = \left ( a+b+c \right )/2=4+\sqrt{2}$ και $\left ( ABC \right )=s\cdot p$ συνεπώς

Φέρω $CHZ \perp AB$ . Το είναι ορθ. και ισοσκελές οπότε $AZ=CZ=2\sqrt{2}$
και δηλ

Τα ορθ. τρίγωνα είναι όμοια άρα και με το Π.Θ έπεται ενώ και
Tο είναι λοιπόν ορθογώνιο και τελικά παίρνουμε $IH \parallel AB$ . Φιλικά Γιώργος.

Πολύ ωραία λύση !!!! Μπράβο !

mathematica.gr

Πλευρική παραλληλία

Πλευρική παραλληλία

Re: Πλευρική παραλληλία

Re: Πλευρική παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση