Πεντάρι

KARKAR · #1

: Πεντάρι.png (9.46 KiB) Προβλήθηκε 821 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου AB=6

ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο

και

φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

. Υπολογίστε το BS=x

, ώστε :

.

#2

Η κλασσική λύση .

: Πεντάρι.png (14.93 KiB) Προβλήθηκε 811 φορές

$\left\{ \begin{gathered} T{B^2} = A{B^2} - A{T^2} = 36 - 25 = 11 \hfill \\ T{S^2} = SA \cdot SB = x(x + 6) \hfill \\ \vartriangle TAS \approx \vartriangle BTS \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Από την προηγούμενη ομοιότητα:

$\dfrac{{TA}}{{TB}} = \dfrac{{TS}}{{BS}} \Rightarrow \dfrac{{T{A^2}}}{{T{B^2}}} = \dfrac{{T{S^2}}}{{B{S^2}}} \Rightarrow \dfrac{{25}}{{11}} = \dfrac{{x + 6}}{x} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{33}}{7}}$

#3

Ας είναι

η προβολή του

στη

θα είναι $\widehat \omega = \widehat A$ ως υπό χορδής κι εφαπτομένης και $\widehat \theta = \widehat A$ γιατί είναι οξείες και έχουν τις πλευρές τους κάθετες .

Συνεπώς $\widehat \omega = \widehat \theta$ και αφού $AT \bot TB$ για το $\vartriangle TKS$ οι TB,TA

είναι , αντίστοιχα, εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος του .

Έτσι η τετράδα : $(K,S\backslash A,B)$ είναι αρμονική

: Πεντάρι_new.png (16.51 KiB) Προβλήθηκε 803 φορές

Από το Θ. Ευκλείδη στο $\vartriangle ABC$ έχω , $T{A^2} = AK \cdot AB \Rightarrow 25 = 6AK \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} AK = \frac{{25}}{6} \hfill \\ KB = \frac{{11}}{6} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Από την αρμονική αναλογία έχω : $\dfrac{{BS}}{{BK}} = \dfrac{{AS}}{{AK}} \Rightarrow \dfrac{{6x}}{{11}} = \dfrac{{6(x + 6)}}{{25}} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{33}}{7}}$ .

makman94 · #4

Από $\triangle ATB$ έχουμε: $cos\omega=\frac{5}{6}$ (1)

$cos2\omega =2cos^2\omega -1=2(\frac{5}{6})^2-1\Leftrightarrow cos2\omega =\frac{7}{18}$ (2)

Από N.Ημιτόνων στο $\triangle ATS$ έχουμε:

$\frac{sinT}{AS}=\frac{sinS}{AT}\Leftrightarrow \frac{sin(90°+\omega )}{x+6}=\frac{sin(90°-2\omega )}{5}\Leftrightarrow 5cos\omega =(x+6)cos2\omega \Leftrightarrow 5\frac{5}{6}=(x+6)\frac{7}{18}\Leftrightarrow x=\frac{33}{7}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 01, 2018 10:20 am
Πεντάρι.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο και

φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Υπολογίστε το , ώστε : .

Νόμος συνημιτόνων στο ATS:

: Πεντάρι.png (11.32 KiB) Προβλήθηκε 793 φορές

$\displaystyle T{S^2} = 25 + {(x + 6)^2} - 10(x + 6)\cos \varphi \Leftrightarrow x(x + 6) = 25 + {(x + 6)^2} - 10(x + 6)\frac{5}{6} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\dfrac{33}{7}}$

#6

: Πεντάρι_new_new.png (20.75 KiB) Προβλήθηκε 779 φορές

Φέρνω την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

που τέμνει την

στο

. Τώρα τα

είναι εφαπτόμενα τμήματα και η

μεσοκάθετος στο

.

Αν

το σημείο τομής των $EO\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,TB$ θα είναι :

$\left\{ \begin{gathered} OP// = \frac{{AT}}{2} = \frac{5}{2} \hfill \\ O{B^2} = OP \cdot OE \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} OP = \frac{5}{2} \hfill \\ 9 = \frac{5}{2}OE \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{OE = \frac{{18}}{5}}\,\,\,(1)$ . Από την ομοιότητα των τριγώνων

$SOE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SAT$ έχω : $\dfrac{{SO}}{{SA}} = \dfrac{{OE}}{{AT}}$ που λόγω της (1)

γράφεται:

$\dfrac{{x + 3}}{{x + 6}} = \dfrac{{\dfrac{{18}}{5}}}{5} \Leftrightarrow 25(x + 3) = 18(x + 6) \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{33}}{7}}$

#7

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 01, 2018 12:26 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 01, 2018 10:20 am
Πεντάρι.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο και

φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Υπολογίστε το , ώστε : .
Νόμος συνημιτόνων στο Πεντάρι.png
$\displaystyle T{S^2} = 25 + {(x + 6)^2} - 10(x + 6)\cos \varphi \Leftrightarrow x(x + 6) = 25 + {(x + 6)^2} - 10(x + 6)\frac{5}{6} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\dfrac{33}{7}}$

Αυτή μ αρέσει πιο πολύ!

Ιστοσελίδα · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 01, 2018 10:20 am
Στην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο και

φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Υπολογίστε το , ώστε : .

Φέρουμε $AC \bot ST$

: shape.png (18.45 KiB) Προβλήθηκε 778 φορές

Από $\triangleleft ACT \sim \triangleleft ATB \Rightarrow AC = \dfrac{{25}}{6}$ και από $\triangleleft SOT \sim \triangleleft SAC \Rightarrow \dfrac{{x + 3}}{3} = \dfrac{{x + 6}}{{25/6}} \Leftrightarrow x = \dfrac{{33}}{7}$

Πεντάρι

Πεντάρι

Re: Πεντάρι

Re: Πεντάρι

Re: Πεντάρι

Re: Πεντάρι

Re: Πεντάρι

Re: Πεντάρι

Re: Πεντάρι

Μέλη σε σύνδεση