Ἄκολουθία ποὺ ἔχει ὅλους τοὺς φυσικοὺς ὡς ὁριακὰ σημεῖα

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δίδεται ἡ ἀκολουθία
$\displaystyle{ a_n=n-\sqrt{n}\lfloor\sqrt{n}\rfloor, \quad n\in\mathbb N. }$
Δείξατε ὅτι κάθε φυσικὸς ἀριθμὸς ἀποτελεῖ ὁριακό της σημεῖο.

Δηλαδή, διὰ κάθε $\,k\in\mathbb N$ , ὑπάρχει ὑπακολουθία τῆς $\,\{a_n\}\,$ συγκλίνουσα στὸν

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 31, 2018 12:54 pm
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δίδεται ἡ ἀκολουθία
$\displaystyle{ a_n=n-\sqrt{n}\lfloor\sqrt{n}\rfloor, \quad n\in\mathbb N. }$
Δείξατε ὅτι κάθε φυσικὸς ἀριθμὸς ἀποτελεῖ ὁριακό της σημεῖο.

Δηλαδή, διὰ κάθε $\,k\in\mathbb N$ , ὑπάρχει ὑπακολουθία τῆς $\,\{a_n\}\,$ συγκλίνουσα στὸν .

Εστω $k\in \mathbb{N}$ σταθερό.

Επειδή για n> k

είναι $[\sqrt{n^{2}+k}]=n$

έχουμε ότι $a_{n^{2}+k}}=n^{2}+k-n\sqrt{n^{2}+k}$

Πολλαπλασιάζοντας με την συζυγή παράσταση βρίσκουμε ότι

$a_{n^{2}+k}}=\dfrac{kn^{2}+k^{2}}{n^{2}+k+n\sqrt{n^{2}+k}}\rightarrow \frac{k}{2}$

όταν $n\rightarrow \infty$

Αρα τα σημεία συσσώρευσης της ακολουθίας είναι τουλάχιστον τα

$\frac{k}{2},k\in \mathbb{N}$

που περιέχουν τους φυσικούς

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Σωστά. Τὰ ὑπακολουθιακά της ὅρια εἷναι ΑΚΡΙΒΩΣ τὰ πολλαπλάσια τοῦ 1/2.

Ἄκολουθία ποὺ ἔχει ὅλους τοὺς φυσικοὺς ὡς ὁριακὰ σημεῖα

Ἄκολουθία ποὺ ἔχει ὅλους τοὺς φυσικοὺς ὡς ὁριακὰ σημεῖα

Re: Ἄκολουθία ποὺ ἔχει ὅλους τοὺς φυσικοὺς ὡς ὁριακὰ σημεῖα

Re: Ἄκολουθία ποὺ ἔχει ὅλους τοὺς φυσικοὺς ὡς ὁριακὰ σημεῖα

Μέλη σε σύνδεση