Με ημίτονο και λογάριθμο
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
Με ημίτονο και λογάριθμο
Δίνεται η συνάρτηση με .
(α) Να αποδείξετε ότι η τέμνει τον άξονα των τετμημένων σε άπειρα σημεία.
(β) Να βρεθεί πολυώνυμο δευτέρου βαθμού, έστω , τέτοιο ώστε να ισχύει:
Είναι το πολυώνυμο αυτό μοναδικό;
(γ) Αν οι δύο ρίζες της στο διάστημα με και τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
Φιλικά,
Μάριος
(α) Να αποδείξετε ότι η τέμνει τον άξονα των τετμημένων σε άπειρα σημεία.
(β) Να βρεθεί πολυώνυμο δευτέρου βαθμού, έστω , τέτοιο ώστε να ισχύει:
Είναι το πολυώνυμο αυτό μοναδικό;
(γ) Αν οι δύο ρίζες της στο διάστημα με και τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
Φιλικά,
Μάριος
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Με ημίτονο και λογάριθμο
M.S.Vovos έγραψε: ↑Τετ Φεβ 07, 2018 6:35 pmΔίνεται η συνάρτηση με .
(α) Να αποδείξετε ότι η τέμνει τον άξονα των τετμημένων σε άπειρα σημεία.
(β) Να βρεθεί πολυώνυμο δευτέρου βαθμού, έστω , τέτοιο ώστε να ισχύει:
Είναι το πολυώνυμο αυτό μοναδικό;
(γ) Αν οι δύο ρίζες της στο διάστημα με και τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
Φιλικά,
Μάριος[/b0
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια στα δύο πρώτα...
α) Κατ΄αρχάς υποθέτω ότι ο Μάριος εννοεί φυσικό και όχι δεκαδικό λογάριθμο...
Δεν αλλάζει και τίποτα. Απλώς στον δεκαδικό εμφανίζεται συνεχώς το . Κούραση ...
Είναι , .
Συνεπώς η τέμνει τον άξονα σε άπειρα σημεία της μορφής .
(β) Θεωρώ την συνάρτηση , όπου , .
Είναι , και , κοντά στο .
Αν τότε , αναλόγως του προσήμου των συντελεστών του .
Άρα πρέπει : (1) .
Αντικαθιστώντας την (1) στον τύπο της έχουμε :
.
Εφαρμόζοντας κανόνα de L' Hospital προκύπτει : .
Άρα .
Αν τότε το δεν υπάρχει.
Επομένως (2) .
Αντικαθιστώντας, ξανά, την (2) στον τύπο της έχουμε : .
Άρα εφαρμόζοντας,δύο φορές, κανόνα de L' Hospital προκύπτει :
. Άρα .
Επειδή θέλουμε , πρέπει .
Αντικαθιστώντας στις (1) και (2) έχουμε και .
Άρα .
To πολυώνυμο είναι μοναδικό.
(γ) Για το ερώτημα αυτό έχω την εξής απορία. Όπως φαίνεται από την διατύπωση στο διάστημα φαίνεται να υπάρχουν
μόνο δύο ρίζες. Όμως από το (α) υποερώτημα φαίνεται ότι υπάρχουν άπειρες ρίζες της μορφής με όλους τους ακεραίους
στο διάστημα .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Με ημίτονο και λογάριθμο
Εννοείς μάλλον το διάστημα αντί του γιατί, , άρα έχει άπειρες ρίζες και όχι δύο μόνο, μπορούμε να πούμε όμως ότι υπάρχουν δύο διαδοχικές.Σταμ. Γλάρος έγραψε: ↑Τετ Φεβ 07, 2018 10:04 pmΣυνεπώς η τέμνει τον άξονα σε άπειρα σημεία της μορφής .
.....
(γ) Για το ερώτημα αυτό έχω την εξής απορία. Όπως φαίνεται από την διατύπωση στο διάστημα φαίνεται να υπάρχουν
μόνο δύο ρίζες. Όμως από το (α) υποερώτημα φαίνεται ότι υπάρχουν άπειρες ρίζες της μορφής με όλους τους ακεραίους
στο διάστημα .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Re: Με ημίτονο και λογάριθμο
Μάλλον η διατύπωση που έθεσα μπάζει. Ας πούμε για τώρα να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες