Διαφορισιμότητα πολυμεταβλητής συνάρτησης

#1

Να εξεταστεί αν η συνάρτηση $f(x, y) = \left\{\begin{matrix} \dfrac{xy}{\sqrt[3]{x^2+y^2}} \,, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0\,, & \left ( x,y \right ) = (0, 0) \end{matrix}\right.$ είναι διαφορίσιμη στο σημείο (0, 0)

.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Θέμα εξετάσεων Απ. Λογισμού ΙΙΙ (Μαθηματικό ΕΚΠΑ).

M.S.Vovos · #2

Έχει πέσει αρκετές φορές και η πιο γενική περίπτωση:

Για ποιες τιμές του $\lambda \in \mathbb{R}$ η συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow \mathbb{R}\mid f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{xy}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{\lambda }}, &(x,y)\neq (0,0) \\ 0, &(x,y)=(0,0) \end{matrix}\right.}$ είναι διαφορίσιμη;

Φιλικά,
Μάριος

papamixalis · #3

Καλησπέρα

Θα γράψω την λύση του αρχικού ερωτήματος και μετά θα προσεγγίσω και την γενική περίπτωση.

Αρχικά εύκολα βρίσκουμε ότι οι μερκές παράγωγοι της

στο

ως προς

είναι

Άρα αρκέι να εξετάσω αν το παρακάτω κλάσμα

$\dfrac{xy}{(x^2+y^2)^{\dfrac{1}{3}}*(x^2+y^2)^{\dfrac{1}{2}}}$

τείνει στο

όταν

Όμως

$\dfrac{xy}{(x^2+y^2)^{\dfrac{1}{3}}*(x^2+y^2)^{\dfrac{1}{2}}} \leq \dfrac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^{\dfrac{1}{3}}*(x^2+y^2)^{\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^{\dfrac{5}{6}}}=(x^2+y^2)^{\dfrac{1}{6}}->0$ όταν (x,y)->0

Άρα και το αρχικό μας κλάσμα τείνει στο

συνεπώς η

είναι διαφορίσιμη στο (0,0)

Για την γενική περίπτωση πρέπει να εξετάσω για ποιες τιμές του $\lambda$ το κλάσμα

$\dfrac{xy}{(x^2+y^2)^{\lambda +\dfrac{1}{2}}}$ τείνει στο

Για $\lambda < \dfrac{1}{2}$ βρίσκουμε σχετικά εύκολα ότι είναι παραγωγίσιμη.

Για $\lambda \geq \dfrac{1}{2} \rightarrow \lambda + \dfrac{1}{2} \geq 1$ αποδεικνείεται ότι δεν είναι διαφορίσιμη πχ παίρνοντας τον "δρόμο" x=y

το κλάσμα δεν τείνει στο

Ελπίζω να μην το έχω χάσει κάπου αλλιώς θα προσπαθήσω να το "σώσω" από αύριο.

Καλό ξημέρωμα σε όλους
Φιλικά
Μιχάλης

#4

Μια δεύτερη λύση...

Για να είναι η συνάρτηση $f:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}\; ;$

$\displaystyle f(x, y) = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{xy}{({x^2+y^2})^{\lambda}} \,, & (x, y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0, 0)\}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 0\,, & \left ( x,y \right ) = (0, 0) \end{array}\right.\,, \quad \lambda\in\mathbb{R}\,,$
διαφορίσιμη στο σημείο (0, 0)

, πρέπει και αρκεί να ισχύει

$\begin{aligned} &\mathop{\lim}\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{f(x,y)-f(0,0)-(0,0)\cdot(x-0,y-0)}{\|(x-0,y-0)\|}=0&\Longleftrightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\mathop{\lim}\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{\frac{xy}{({x^2+y^2})^{\lambda}}}{({x^2+y^2})^{\frac{1}{2}}}=0&\Longleftrightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\mathop{\lim}\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{xy}{({x^2+y^2})^{\lambda+\frac{1}{2}}}=0&\stackrel{(*)}{\Longleftrightarrow}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\mathop{\lim}\limits_{(\rho,\varphi)\to (0,0)}\dfrac{\rho^2\cos\varphi\sin\varphi}{\rho^{2\lambda+1}}=0&\Longleftrightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\mathop{\lim}\limits_{(\rho,\varphi)\to (0,0)}\rho^{1-2\lambda}\cos\varphi\sin\varphi=0&\Longleftrightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &1-2\lambda<0&\Longleftrightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\lambda<\frac{1}{2}\,. \end{aligned}$
(*)

Αλλαγή σε πολικές συντεταγμένες.

Διαφορισιμότητα πολυμεταβλητής συνάρτησης

Διαφορισιμότητα πολυμεταβλητής συνάρτησης

Re: Διαφορισιμότητα πολυμεταβλητής συνάρτησης

Re: Διαφορισιμότητα πολυμεταβλητής συνάρτησης

Re: Διαφορισιμότητα πολυμεταβλητής συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση