Κύκλος στο τετράγωνο
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Κύκλος στο τετράγωνο
ώστε : . Ο κύκλος διαμέτρου , τέμνει τη διαγώνιο
στα σημεία . Δείξτε ότι οι οι προεκτάσεις των , διέρχονται από το .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Κύκλος στο τετράγωνο
Επειδή η διαγώνιος διχοτομεί τις ορθές γωνίες στα , θα δείξω
ισοδύναμα ότι : Αν οι τμήσουν τη διαγώνιο στα τότε τα σημεία ανήκουν σε ένα κύκλο.
και αφού
. Άμεση συνέπεια : το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο , Έτσι .Ομοίως και ..
Τώρα εύκολα έχουμε ότι τα τετράπλευρα : είναι εγγράψιμα .
Δηλαδή τα σημεία ανήκουν σε ένα κύκλο..
Παρατήρηση.
Η πιο πάνω λύση στηρίχτηκε στο ότι η γωνία .
Απόδειξη ( μη τριγωνομετρική)
Αν φέρω τη διάμεσο του τραπεζίου και κόψει την στο θα έχω :
συνεπώς , .
Από το Θ. διχοτόμου στο έχω ότι , αν τότε .
Επειδή , αληθές λόγω Π. Θ. στο
τρίγωνο , το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και άρα .
ισοδύναμα ότι : Αν οι τμήσουν τη διαγώνιο στα τότε τα σημεία ανήκουν σε ένα κύκλο.
και αφού
. Άμεση συνέπεια : το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο , Έτσι .Ομοίως και ..
Τώρα εύκολα έχουμε ότι τα τετράπλευρα : είναι εγγράψιμα .
Δηλαδή τα σημεία ανήκουν σε ένα κύκλο..
Παρατήρηση.
Η πιο πάνω λύση στηρίχτηκε στο ότι η γωνία .
Απόδειξη ( μη τριγωνομετρική)
Αν φέρω τη διάμεσο του τραπεζίου και κόψει την στο θα έχω :
συνεπώς , .
Από το Θ. διχοτόμου στο έχω ότι , αν τότε .
Επειδή , αληθές λόγω Π. Θ. στο
τρίγωνο , το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και άρα .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Κύκλος στο τετράγωνο
"Πειράζω" λίγο την εκφώνηση. Θεωρώ τα σημεία στα οποία οι τέμνουν τον κύκλο και θα δείξω
ότι τα σημεία αυτά ανήκουν στη διαγώνιο Με Πυθαγόρειο βρίσκω και με νόμο συνημιτόνων στο διαπιστώνω
ότι Αλλά το είναι εγγράψιμο, οπότε Επειδή όμως είναι και
τα σημεία θα είναι συνευθειακά, ομοίως και το
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Κύκλος στο τετράγωνο
Στο σχήμα του Θανάση.
Θεωρούμε τα τα σημεία που τέμνουν οι την διαγώνιο.
Αρκεί να δείξουμε ότι τα βρίσκονται πάνω σε κύκλο διαμέτρου .
Παίρνουμε το μέσο της .
Είναι καθετος στην .
Εύκολα δείχνουμε ότι
Αρα παράλληλη και τελειώσαμε για το .
Χρησιμοποιώντας ομοιότητες τριγώνων, ιδιότητες αναλογιών και Πυθαγόρειο δείχνουμε ότι
Ετσι και το βρίσκεται πάνω στον κύκλο.
Re: Κύκλος στο τετράγωνο
Εστω ότι τέμνονται στο σημείο
και
τέμνονται στο σημείο
Θα αποδείξω ότι
Απο το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο
Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο
Ομοίως στο τρίγωνο
Στο τρίγωνο
Απο το θεώρημα του Stewart στο τρίγωνο
Αρα
Ομοίως
Γιάννης
- Συνημμένα
-
- Κύκλος σε τετράγωνο.png (94.3 KiB) Προβλήθηκε 658 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Κύκλος στο τετράγωνο
Έστω το σημείο και έχουμε
Η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί τη τέμνει την στο σημείο έστω και από το ορθογώνιο τρίγωνο με
έχουμε λόγω και .
Από
Από
Αλλά, λόγω και Από λόγω .
Από προκύπτει ότι το σημείο ανήκει στον περίκυκλο έστω του ορθογωνίου τριγώνου λόγω της διαμέτρου .
Η δια του σημείου παράλληλη ευθεία προς την , περνάει από το μέσον του λόγω της και προφανώς, από το μέσον του .
Ομοίως, η δια του σημείου παράλληλη ευθεία προς την , περνάει από το μέσον του και προφανώς από το μέσον του ,
λόγω από .
Το τρίγωνο τώρα, είναι ορθογώνιο ισοσκελές ( προφανές ) και άρα, έχουμε
Από συμπεραίνεται ότι το σημείο ανήκει επίσης στον κύκλο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί τη τέμνει την στο σημείο έστω και από το ορθογώνιο τρίγωνο με
έχουμε λόγω και .
Από
Από
Αλλά, λόγω και Από λόγω .
Από προκύπτει ότι το σημείο ανήκει στον περίκυκλο έστω του ορθογωνίου τριγώνου λόγω της διαμέτρου .
Η δια του σημείου παράλληλη ευθεία προς την , περνάει από το μέσον του λόγω της και προφανώς, από το μέσον του .
Ομοίως, η δια του σημείου παράλληλη ευθεία προς την , περνάει από το μέσον του και προφανώς από το μέσον του ,
λόγω από .
Το τρίγωνο τώρα, είναι ορθογώνιο ισοσκελές ( προφανές ) και άρα, έχουμε
Από συμπεραίνεται ότι το σημείο ανήκει επίσης στον κύκλο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Κύκλος στο τετράγωνο
Είναι
Από τα ορθογώνια-ισοσκελή τρίγωνα έχουμε και
Έτσι η διάμεσος του τραπεζίου είναι και με Π.Θ
στο και
Τότε, .Έτσι,λόγω προφανούς ισότητας των
γωνιών και του εγγράψιμου συνευθειακά
Επειδή τώρα και , είναι
Άρα και είναι συνευθειακά
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες