Εμβαδόν με ασύμπτωτη

pito · #1

Καλησπέρα

.

Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f(x)=x^{2}e^{x^{3}}$ , την οριζόντια ασύμπτωτή της στο $-\infty$ και τον y'y

.

Ευχαριστώ.

Andreas A. · #2

Παίρνοντας όριο στο $-\infty$ :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}x^2e^{x^3}=\left (\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x} \right )\left (\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3e^{x^3} \right )=0}$

καθώς: $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3e^{x^3} \overset{u=x^3}{=}\lim_{x\rightarrow -\infty}ue^u=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{u}{e^{-u}}\overset{DLH}{=}\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{-e^{-u}}=0}$ και $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x}=0}$

Άρα η

έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $-\infty$ την y=0

(άξονας χ'χ).

Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι το:

$\displaystyle{E=\lim_{x\rightarrow -\infty}\int_{x}^{0} \left |f(x)-0 \right | \mathrm{d} x=\lim_{x\rightarrow -\infty}\int_{x}^{0}x^2e^{x^3}\mathrm{d} x=\lim_{x\rightarrow -\infty}\left[ \frac{1}{3}e^{x^3} \right ]_{x}^{0}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\ \left (\frac{1}{3}-e^{x^3} \right ) =\frac{1}{3}}$

Για το οπτικό του όλου ζητήματος μια γενική εικόνα της συνάρτησης στο [-6,1]:

Christos.N · #3

Πως χωράει αυτή η άσκηση στον φάκελο αυτό;

pito · #4

Καλησπέρα,ευχαριστώ το μέλος Andreas A για τη λύση.
Κ.Ντάβα την άσκηση την βρήκα σε βοήθημα για γ λυκείου και μου έκανε και εμένα εντύπωση γιατί η λύση της ¨ξεπερνά" την ύλη της γ. Παρακαλώ τους συντονιστές, αν δημιουργείται πρόβλημα, να την μεταφέρουν σε άλλο φάκελο.Ευχαριστώ θερμά.

Εμβαδόν με ασύμπτωτη

Εμβαδόν με ασύμπτωτη

Re: Εμβαδόν με ασύμπτωτη

Re: Εμβαδόν με ασύμπτωτη

Re: Εμβαδόν με ασύμπτωτη

Μέλη σε σύνδεση