Τα 11 σκαλοπάτια

[Λάμπρος Κατσάπας]

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να ανέβουμε 11 σκαλοπάτια;

Θεωρείστε ότι έχουμε τη δυνατότητα να φτάσουμε στο 11ο σκαλοπάτι με τη μία όπως και σε όλα τα προηγούμενα.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Κάθε σκαλοπάτι εκτός από το ο μπορούμε είτε να το πατάμε είτε να το παραβλέπουμε. Συνεπώς έχουμε τρόπους.

[Λάμπρος Κατσάπας]

Κάθε σκαλοπάτι εκτός από το ο μπορούμε είτε να το πατάμε είτε να το παραβλέπουμε. Συνεπώς έχουμε τρόπους.

Πολύ ωραία! Την ισοπέδωσες. Μπράβο σου. Ας γράψω και τον τρόπο που την σκέφτηκα εγώ και ας είναι πιο άκομψος από τον δικό σου.

Έστω το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να ανέβουμε τα n σκαλοπάτια. Τότε ισχύει το παρακάτω αποτέλεσμα:



όπου κατά σύμβαση .

Εξήγηση:

-Αν έχουμε ανέβει αρχικά το πρώτο σκαλοπάτι τότε μας μένουν άλλα σκαλοπάτια να ανέβουμε και το πλήθος των τρόπων είναι.

-Αν έχουμε ανέβει αρχικά τα δύο πρώτα σκαλοπάτια τότε μας μένουν άλλα σκαλοπάτια να ανέβουμε και το πλήθος των τρόπων είναι .

-.....

-Αν έχουμε ανέβει αρχικά τα πρώτα σκαλοπάτια τότε μας μένει άλλο ένα σκαλοπάτι να ανέβουμε και το πλήθος των τρόπων είναι .

-Τέλος ανεβαίνουμε και τα n κατευθείαν, άλλος ένας τρόπος (το που λέγαμε).

Επαγωγικά δείχνουμε ότι .

[Τσιαλας Νικολαος]

Κάθε σκαλοπάτι εκτός από το ο μπορούμε είτε να το πατάμε είτε να το παραβλέπουμε. Συνεπώς έχουμε τρόπους.

Κάποιος είναι έτοιμος να "πάρει κεφάλια" στον αρχιμήδη!!! Καλή σου επιτυχία Διονύση!!!
Υ.γ: έστω και ετεροχρονισμένα σκέφτηκα όπως ο κύριος Λάμπρος

[harrisp]

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να ανέβουμε 11 σκαλοπάτια;

Θεωρείστε ότι έχουμε τη δυνατότητα να φτάσουμε στο 11ο σκαλοπάτι με τη μία όπως και σε όλα τα προηγούμενα.

Ας το δυσκολέψουμε λίγο. Κάντε το ίδιο αν μπορούμε να ανέβουμε 1 ή 2 σκαλιά την φορά.

[Λάμπρος Κατσάπας]

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να ανέβουμε 11 σκαλοπάτια;

Θεωρείστε ότι έχουμε τη δυνατότητα να φτάσουμε στο 11ο σκαλοπάτι με τη μία όπως και σε όλα τα προηγούμενα.

Ας το δυσκολέψουμε λίγο. Κάντε το ίδιο αν μπορούμε να ανέβουμε 1 ή 2 σκαλιά την φορά.

Fibonacci....