Δώσε και συ μία λύση, μπορείς !
Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Δώσε και συ μία λύση, μπορείς !
Σε τρίγωνο , το ύψος η διάμεσος και η διχοτόμος χωρίζουν την σε τέσσερις ίσες γωνίες. Βρείτε την .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Δώσε και συ μία λύση, μπορείς !
Καλημέρα Ορέστη!Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Δευ Μαρ 05, 2018 11:34 pmΣε τρίγωνο , το ύψος η διάμεσος και η διχοτόμος χωρίζουν την σε τέσσερις ίσες γωνίες. Βρείτε την .
GONIA.png
Θα χρησιμοποιήσω το Λήμμα: Αν η διχοτόμος μιας γωνίας τριγώνου διχοτομεί και τη γωνία ύψους και διαμέσου,
τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στη γωνία αυτή.
Σύμφωνα με αυτό το λήμμα είναι
Σε επόμενη ανάρτηση θα αποδείξω το λήμμα.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Δώσε και συ μία λύση, μπορείς !
Λήμμα: Αν η διχοτόμος μιας γωνίας τριγώνου διχοτομεί και τη γωνία ύψους και διαμέσου,
τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στη γωνία αυτή. Έστω το ύψος, η διχοτόμος και η διάμεσος αντίστοιχα τριγώνου με τότε ως γνωστόν είναι
Έστω το μέσο του Τότε,
Άρα το είναι εγγράψιμο, οπότε
τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στη γωνία αυτή. Έστω το ύψος, η διχοτόμος και η διάμεσος αντίστοιχα τριγώνου με τότε ως γνωστόν είναι
Έστω το μέσο του Τότε,
Άρα το είναι εγγράψιμο, οπότε
Re: Δώσε και συ μία λύση, μπορείς !
Κάποιες ακόμη ιδέες για το θέμα αυτό , μπορείτε να βρείτε ξεκινώντας από εδώ .
Θα βρείτε και μια από τις λίγες ( δυστυχώς ..) παρεμβάσεις του μεγάλου Ν. Ράπανου .
Θα βρείτε και μια από τις λίγες ( δυστυχώς ..) παρεμβάσεις του μεγάλου Ν. Ράπανου .
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Δώσε και συ μία λύση, μπορείς !
Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Δευ Μαρ 05, 2018 11:34 pmΣε τρίγωνο , το ύψος η διάμεσος και η διχοτόμος χωρίζουν την σε τέσσερις ίσες γωνίες. Βρείτε την .
GONIA.png
Επειδή είναι ισογώνιες με τις ,σύμφωνα με το θ.Steiner θα ισχύει
κι επειδή
Re: Δώσε και συ μία λύση, μπορείς !
Κατασκευάζω τον περίκυκλο του τριγώνου και έστωΟρέστης Λιγνός έγραψε: ↑Δευ Μαρ 05, 2018 11:34 pmΣε τρίγωνο , το ύψος η διάμεσος και η διχοτόμος χωρίζουν την σε τέσσερις ίσες γωνίες. Βρείτε την .
GONIA.png
Τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με
Αρα
Το τραπέζιο είναι ισοσκελές με
Οποτε η και διερχεται από το μέσο της πλευράς (απλό )
Συνεπώς
Γιάννης
Απο μια δευτερη λύση που εχω προκυπτει είναι ένα δευτερο ερώτημα για την άσκηση
- Συνημμένα
-
- Δώσε και συ μια λύση, μπορείς.png (91.06 KiB) Προβλήθηκε 1225 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Re: Δώσε και συ μία λύση, μπορείς !
Στις προϋπάρχουσες λύσεις, δεν είδα την επόμενη:
Αν οι εφαπτόμενες του περιγεγραμένου κύκλου στα Β, Α τέμνονται, τότε το σημείο τομής και το Γ ορίζουν την συμμετροδιάμεσο, η οποία, εν προκειμένω, είναι το ύψος, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές στο Γ κ.λπ., άτοπο. Επομένως οι εφαπτόμενες αυτές δεν τέμνονται, είναι παράλληλες, άρα η ΑΒ είναι διάμετρος κ.λπ.
Αν οι εφαπτόμενες του περιγεγραμένου κύκλου στα Β, Α τέμνονται, τότε το σημείο τομής και το Γ ορίζουν την συμμετροδιάμεσο, η οποία, εν προκειμένω, είναι το ύψος, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές στο Γ κ.λπ., άτοπο. Επομένως οι εφαπτόμενες αυτές δεν τέμνονται, είναι παράλληλες, άρα η ΑΒ είναι διάμετρος κ.λπ.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Δώσε και συ μία λύση, μπορείς !
Μπορώ και εγώ (τριγωνομετρικά, και με δόση ... μαύρου χιούμορ):
Από το αρχικό σχήμα του Ορέστη λαμβάνουμε , , , οπότε από τον Νόμο Συνημιτόνων στο και με απαλοιφή του προκύπτει η τριγωνομετρική εξίσωση
Η εξίσωση αυτή μπορεί βεβαίως να επιλυθεί ως έχει στο WolframAlpha, μπορεί όμως να επιλυθεί και με το χέρι, καθώς με χρήση διαφόρων τριγωνομετρικών τύπων ανάγεται στην
όπου , και, αν υπάρχει χρόνος και διάθεση, στην
Είτε από την μία μορφή είτε από την άλλη λαμβάνουμε -- με ή χωρίς χρήση του WolframAlpha -- τις ρίζες , , , , , προσεγγιστικά , , , , . Από την προκύπτει άμεσα ότι οι μόνες ενδεχομένως αποδεκτές ρίζες είναι οι και : η πρώτη δίνει την επιθυμητή , η δεύτερη δίνει και αποκλείεται από την (και ).
Από το αρχικό σχήμα του Ορέστη λαμβάνουμε , , , οπότε από τον Νόμο Συνημιτόνων στο και με απαλοιφή του προκύπτει η τριγωνομετρική εξίσωση
Η εξίσωση αυτή μπορεί βεβαίως να επιλυθεί ως έχει στο WolframAlpha, μπορεί όμως να επιλυθεί και με το χέρι, καθώς με χρήση διαφόρων τριγωνομετρικών τύπων ανάγεται στην
όπου , και, αν υπάρχει χρόνος και διάθεση, στην
Είτε από την μία μορφή είτε από την άλλη λαμβάνουμε -- με ή χωρίς χρήση του WolframAlpha -- τις ρίζες , , , , , προσεγγιστικά , , , , . Από την προκύπτει άμεσα ότι οι μόνες ενδεχομένως αποδεκτές ρίζες είναι οι και : η πρώτη δίνει την επιθυμητή , η δεύτερη δίνει και αποκλείεται από την (και ).
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Δώσε και συ μία λύση, μπορείς !
Γιώργο, με όρους fb, like!!gbaloglou έγραψε: ↑Παρ Μαρ 09, 2018 12:38 pmΜπορώ και εγώ (τριγωνομετρικά, και με δόση ... μαύρου χιούμορ):
Από το αρχικό σχήμα του Ορέστη λαμβάνουμε , , , οπότε από τον Νόμο Συνημιτόνων στο και με απαλοιφή του προκύπτει η τριγωνομετρική εξίσωση
Η εξίσωση αυτή μπορεί βεβαίως να επιλυθεί ως έχει στο WolframAlpha, μπορεί όμως να επιλυθεί και με το χέρι, καθώς με χρήση διαφόρων τριγωνομετρικών τύπων ανάγεται στην
όπου , και, αν υπάρχει χρόνος και διάθεση, στην
Είτε από την μία μορφή είτε από την άλλη λαμβάνουμε -- με ή χωρίς χρήση του WolframAlpha -- τις ρίζες , , , , , προσεγγιστικά , , , , . Από την προκύπτει άμεσα ότι οι μόνες ενδεχομένως αποδεκτές ρίζες είναι οι και : η πρώτη δίνει την επιθυμητή , η δεύτερη δίνει και αποκλείεται από την (και ).
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Δώσε και συ μία λύση, μπορείς !
Κώστα σ' ευχαριστώ πολύ για το like, που με κάνει όμως να ακριβολογήσω λίγο περισσότερο: αν θέλαμε πραγματικά να δώσουμε μια λύση με το χέρι -- κάτι που η ίδια η φύση του προβλήματος (και βέβαια η εκ των προτέρων γνώση της απάντησης) μας λέει ότι είναι εφικτό -- τότε θα έπρεπε να παραγοντοποιήσουμε χωρίς χρήση λογισμικών το , που προκύπτει από την ισότητα , ακριβέστερα (και ύστερα από την διαίρεση των δύο αριθμητών δια ) την .
Κανονικά η παραγοντοποίηση δεν θα ήταν και ότι ευκολότερο, καθώς οδηγεί στις , (που μας δίνουν λύσεις με , θετικούς ακέραιους (και ) και , ακέραιους) και στις , : ελέγχοντας την ... ακεραιότητα των , (ως και φορές αν είμαστε άτυχοι) φτάνουμε στην επιθυμητή παραγοντοποίηση .
ΟΜΩΣ ... τα τέσσερα τετράγωνα στην μας επιτρέπουν μία γρήγορη διαφυγή ... μέσω της
Κανονικά η παραγοντοποίηση δεν θα ήταν και ότι ευκολότερο, καθώς οδηγεί στις , (που μας δίνουν λύσεις με , θετικούς ακέραιους (και ) και , ακέραιους) και στις , : ελέγχοντας την ... ακεραιότητα των , (ως και φορές αν είμαστε άτυχοι) φτάνουμε στην επιθυμητή παραγοντοποίηση .
ΟΜΩΣ ... τα τέσσερα τετράγωνα στην μας επιτρέπουν μία γρήγορη διαφυγή ... μέσω της
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης