Ζάρια

[Λάμπρος Κατσάπας]

Έχετε στη διάθεσή σας δύο ζάρια, ένα συμμετρικό (τίμιο) και ένα μη συμμετρικό. Στόχος σας είναι να φέρετε διπλές ρίχνοντας

δύο φορές το ζάρι. Ποιο από τα δύο θα διαλέγατε και γιατί; Αν η απάντησή σας είναι παραπάνω από μια άντε δύο γραμμές

ξανασκεφτείτε το.

[perpendicular]

Έστω ΠΤ που συνίσταται στην ρίψη ενός κυβικού ζαριού με δειγματοχώρο Ω={i|1<=i<=6}.Έστω p:Ω-->R μία συνάρτηση πιθανότητας.Τότε ΠΤ που συνίσταται σε δύο ρίψεις του παραπάνω ζαριού έχει δειγματοχώρο ΩχΩ και εφόσον οι ρίψεις είναι ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ μεταξύ τους έπεται ότι έχει συνάρτηση πιθανότητας την π:ΩχΩ-->R με π({(i.j)}) =p({i})p({j}).
H π σαν συνάρτηση πιθανότητας είναι "προσθετική" που σημαίνει ότι αν Ε ένα ενδεχόμενο του ΩχΩ και (Εn) μία διαμέριση αυτού τότε έχουμε ότι
π(Ε) =π(UEn) =Σπ(Εn).Για το πρόβλημα μας έχουμε ότι αν Ε το ενδεχόμενο να έρθουν διπλές και Εi={({i,i)} τότε τα E1,....,E6 μία διαμέριση του Ε οπότε έχουμε ότι
π(Ε) =π(ΣΕi)
=Σπ(Εi)
=Σp({i})p({i})
=Σpi^2 από QM>=AM με την ισότητα ανν p1=...=p6( =1/6) άρα δίκαιο ζάρι
>=6(Σpi/6))^2
=6[(Σpi)/6]^2
=6(1/6)^2
=1/6
Άρα π(Ε)>=1/6 με την ισότητα να επιτυγχάνεται στην περίπτωση του δίκαιο ζαριού!