Διχοτομήσεις

KARKAR · #1

: Διχοτομήσεις.png (13.12 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC , (\hat{A}=90^0)$ παρατηρήσαμε ότι η διχοτόμος

,

διχοτομεί το εμβαδόν του τριγώνου ABD

, το οποίο σχηματίζει η διχοτόμος

με τις κάθετες πλευρές c,b

. Υπολογίτε την : $\tan B$ .

#2

#3

Ρίζα της εξίσωσης 2x^3-2x^2+2x-1=0

Βρίσκω $\displaystyle \tan B = \frac{1}{6}\left( {2 - \frac{{4\sqrt[3]{4}}}{{\sqrt[3]{{13 + 3\sqrt {33} }}}} + \sqrt[3]{{26 + 6\sqrt {33} }}} \right)$

Φαντάζομαι ότι είναι ίδιο με του Νίκου, αλλά δεν έχω το κουράγιο να το επαληθεύσω μετά από όλη τη διαδικασία.

Άρση απόκρυψης.

#4

: Διχοτομήσεις.png (26.8 KiB) Προβλήθηκε 538 φορές

Φέρνω από το

παράλληλη στη διχοτόμο

. Επειδή

γιατί έχουν

κοινή βάση

και ίσα ύψη από τις δύο άλλες κορυφές θα είναι η

διάμεσος στο

τρίγωνο SZB

. Έτσι θα έχω:

$x = \tan B = \dfrac{b}{c} \Rightarrow b = cx\,\,(1)$ και $a = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \,\,\,\,(2)$ ,

$ZA + AE = EB \Leftrightarrow AD + AE = EB$ δηλαδή :

$b(\dfrac{1}{{a + c}} + \dfrac{1}{{a + b}}) = \dfrac{a}{{a + b}}$ που λόγω των $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ έχω εξίσωση :

$2{x^3} - 2{x^2} + 2x - 1 = 0$ με μια πραγματική ρίζα :

$\boxed{x = \tan B = \sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {33} }}{{36}} + \frac{{13}}{{108}}}} - \sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {33} }}{{36}} - \frac{{13}}{{108}}}} + \frac{1}{3}}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 21, 2018 2:54 pm
Διχοτομήσεις.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC , (\hat{A}=90^0)$ παρατηρήσαμε ότι η διχοτόμος ,

διχοτομεί το εμβαδόν του τριγώνου , το οποίο σχηματίζει η διχοτόμος

με τις κάθετες πλευρές . Υπολογίτε την : $\tan B$ .

: Διχοτομήσεις.png (12.86 KiB) Προβλήθηκε 522 φορές

$\displaystyle \frac{{SE}}{{SC}} = \frac{c}{{a + b}} \Leftrightarrow \frac{{SE}}{{EC}} = \frac{c}{{a + b + c}} \Leftrightarrow \frac{h}{b} = \frac{c}{{a + b + c}} \Leftrightarrow h = \frac{{bc}}{{a + b + c}}$

$\displaystyle (ADB) = 2(EBS) \Leftrightarrow \frac{1}{2}AD \cdot c = EB \cdot h \Leftrightarrow \frac{{b{c^2}}}{{a + c}} = \frac{{2ac}}{{a + b}} \cdot \frac{{bc}}{{a + b + c}} \Leftrightarrow$ $\boxed{b = \frac{{c(a + c)}}{{2a + c}}}$ (1)

Θέτω $\displaystyle \frac{b}{c} = x\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} x = \frac{{a + c}}{{2a + c}}$ κι επειδή a^2=b^2+c^2,

θα είναι $a=c\sqrt{x^2+1},$ οπότε καταλήγουμε στην

$\displaystyle \sqrt {{x^2} + 1} = \frac{{1 - x}}{{2x - 1}},{\rm{ }}\frac{1}{2} < x < 1$ και $\boxed{2{x^3} - 2{x^2} + 2x - 1 = 0}$ απ'όπου παίρνουμε τη

μοναδική ρίζα που έγραψα στην προηγούμενη ανάρτηση και που είναι προσεγγιστικά $\boxed{\tan B \simeq 0.6478}$

Διχοτομήσεις

Διχοτομήσεις

Re: Διχοτομήσεις

Re: Διχοτομήσεις

Re: Διχοτομήσεις

Re: Διχοτομήσεις

Μέλη σε σύνδεση