Βρείτε το γινόμενο
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13230
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Βρείτε το γινόμενο
Για τους θετικούς αριθμούς και ισχύει ότι
Αν το άθροισμα των και είναι , να βρείτε το γινόμενό τους.
Αν το άθροισμα των και είναι , να βρείτε το γινόμενό τους.
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13230
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1513
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Re: Βρείτε το γινόμενο
Είναι
Υπάρχουν οξείες γωνίες ώστε
Τότε
και
Θεωρούμε τους μιγαδικούς
Τότε
οπότε αφού
Άρα οπότε και
Υπάρχουν οξείες γωνίες ώστε
Τότε
και
Θεωρούμε τους μιγαδικούς
Τότε
οπότε αφού
Άρα οπότε και
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Βρείτε το γινόμενο
Μια γεωμετρική λύση.
Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο με , , .
Αυτή κατασκευή υπαγορεύεται από τα δεδομένα του προβλήματος και γίνεται κατανοητή στη συνέχεια.
Να παρατηρήσετε το συνημμένο σχήμα.
Ορίζω και , προκύπτει ότι .
Ορίζω και , προκύπτει ότι .
Ορίζω και , προκύπτει ότι .
Στο συνημμένο σχήμα έχουμε παραλληλόγραμμα και όμοια τρίγωνα.
AB = 12 είναι το άθροισμα των τριών ριζών
BC = x + y + z = 9
AC = 4 + 5 + 6 = 15
Από τα όμοια τρίγωνα E , προκύπτει η αναλογία
Με όμοιο τρόπο, πάλι από τα όμοια τρίγωνα προκύπτει ότι και.
Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο με , , .
Αυτή κατασκευή υπαγορεύεται από τα δεδομένα του προβλήματος και γίνεται κατανοητή στη συνέχεια.
Να παρατηρήσετε το συνημμένο σχήμα.
Ορίζω και , προκύπτει ότι .
Ορίζω και , προκύπτει ότι .
Ορίζω και , προκύπτει ότι .
Στο συνημμένο σχήμα έχουμε παραλληλόγραμμα και όμοια τρίγωνα.
AB = 12 είναι το άθροισμα των τριών ριζών
BC = x + y + z = 9
AC = 4 + 5 + 6 = 15
Από τα όμοια τρίγωνα E , προκύπτει η αναλογία
Με όμοιο τρόπο, πάλι από τα όμοια τρίγωνα προκύπτει ότι και.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13230
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Βρείτε το γινόμενο
Παύλο και Ανδρέα, σας ευχαριστώ για τις λύσεις. Η δική μου λύση είναι ίδια με του Ανδρέα.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Βρείτε το γινόμενο
Ας δούμε και την εκδοχή που ακολουθεί και που είναι απλή εφαρμογή της ταυτότητας Lagrange:george visvikis έγραψε: ↑Τετ Απρ 04, 2018 6:16 pmΓια τους θετικούς αριθμούς και ισχύει ότι
Αν το άθροισμα των και είναι , να βρείτε το γινόμενό τους.
Για την λύση της άσκησης θεωρούμε οπότε παίρνουμε και
Αν υψώσουμε στο τετράγωνο τις σχέσεις αυτές έχουμε: και
Αν τώρα θεωρήσουμε την ανάπτυξη των πρώτων μελών κατά τη ταυτότητα Lagrange ,
με το να είναι άθροισμα τετραγώνων και προσθέσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε αφού θεωρούμε ως συντελεστές την μονάδα που εμφανίζεται φορές επί το μέσα λόγω των απλοποιήσεων κατά τη πρόσθεση που δίνει το και που επίσης το προκύπτει από την πρόσθεση αυτή και στο δεύτερο μέλος. Έτσι για το άθροισμα των τετραγώνων που προκύπτει έχουμε
Eύκολα πλέον παίρνουμε άρα και τις τιμές . Οι τιμές αυτές επαληθεύουν τις εξισώσεις. Τελικά παίρνουμε
(*) Υπενθυμίζουμε ότι η γενική μορφή της ταυτότητας του Lagrange είναι:
(**) Θεωρώ ότι θα επιλύεται και με θεώρηση κατάλληλων διανυσμάτων που τελικά βγαίνουν γραμμικώς εξαρτημένα έως ίσα, καθότι ήδη είδαμε την πανέμορφη λύση με μιγαδικούς του Παύλου.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Βρείτε το γινόμενο
S.E.Louridas έγραψε: ↑Τρί Απρ 17, 2018 12:06 amΑς δούμε και την εκδοχή που ακολουθεί και που είναι απλή εφαρμογή της ταυτότητας Lagrange:george visvikis έγραψε: ↑Τετ Απρ 04, 2018 6:16 pmΓια τους θετικούς αριθμούς και ισχύει ότι
Αν το άθροισμα των και είναι , να βρείτε το γινόμενό τους.
Για την λύση της άσκησης θεωρούμε οπότε παίρνουμε και
Αν υψώσουμε στο τετράγωνο τις σχέσεις αυτές έχουμε: και
Αν τώρα θεωρήσουμε την ανάπτυξη των πρώτων μελών κατά τη ταυτότητα Lagrange ,
με το να είναι άθροισμα τετραγώνων και προσθέσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε αφού θεωρούμε ως συντελεστές την μονάδα που εμφανίζεται φορές επί το μέσα λόγω των απλοποιήσεων κατά τη πρόσθεση που δίνει το και που επίσης το προκύπτει από την πρόσθεση αυτή και στο δεύτερο μέλος. Έτσι για το άθροισμα των τετραγώνων που προκύπτει έχουμε
Eύκολα πλέον παίρνουμε άρα και τις τιμές . Οι τιμές αυτές επαληθεύουν τις εξισώσεις. Τελικά παίρνουμε
(*) Υπενθυμίζουμε ότι η γενική μορφή της ταυτότητας του Lagrange είναι:
(**) Θεωρώ ότι θα επιλύεται και με θεώρηση κατάλληλων διανυσμάτων που τελικά βγαίνουν γραμμικώς εξαρτημένα έως ίσα, καθότι ήδη είδαμε την πανέμορφη λύση με μιγαδικούς του Παύλου.
(**) Πράγματι έχουμε και τη διαπραγμάτευση που ακολουθεί:
, που σημαίνει ότι θα υπάρχουν θετικοί τέτοιοι που και
Άρα παίρνουμε και οπότε
Όμοια έχουμε και οπότε Έτσι οδηγούμαστε στις άρα από όπου προκύπτoυν οι και τιμές που επαληθεύουν.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες