Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα

#1

Αφού μετά από αυτήν τη ανισότητα αναρτήθηκε και αυτή, να δώσω και μια γενίκευση σε αυτόν τον φάκελο:

Έστω $f:[{0,1}]\longrightarrow\mathbb{R}$ μία συνάρτηση με την ιδιότητα Lipschitz, δηλαδή τέτοια ώστε, για $K\in\mathbb{R}^{+}$ και για κάθε $x,\,y\in[0,1]$ , να ισχύει:

$|{f(x)-f(y)}|\leqslant{K}\,|{x-y}|\,.$
Να αποδειχθεί ότι, για κάθε $\nu\in\mathbb{N}$ , ισχύει

$\displaystyle\bigg|\int_{0}^{1}{f(x)\,dx}-\frac{1}{\nu}\mathop{\sum}\limits_{\kappa=1}^{\nu}f\big(\tfrac{\kappa}{\nu}\big)\bigg|\leqslant\frac{K}{2\nu}\,.$

Σημείωση: Η άσκηση υπάρχει άλυτη σε βιβλίο Απ. Λογ. ΙΙ και είναι γενίκευση της 1ης ανισότητας (που δημοσίευσε ο Λ. Κατσάπας). Έχω λύση για την περίπτωση όπου το φράγμα είναι $\frac{K}{\nu}$ αλλά όχι και για το $\frac{K}{2\nu}$ .

dement · #2

Ισχύει $\displaystyle \left| \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) \right| = \left| \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left( f(x) - f\left( \frac{k}{n} \right) \right) \mathrm{d}x \right| \leqslant$

$\displaystyle \leqslant \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left| f(x) - f\left( \frac{k}{n} \right) \right| \mathrm{d}x \leqslant K \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left| x - \frac{k}{n} \right| \mathrm{d}x = \frac{K}{2n}$

#3

dement έγραψε: ↑
Τετ Απρ 04, 2018 7:02 pm
$\displaystyle \ldots \leqslant K \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left| x - \frac{k}{n} \right| \mathrm{d}x = \frac{K}{2n}$

Να από που "βγαίνει" το 2 στον παρανομαστή! (Ευχαριστούμε Δημήτρη)

Εγώ εφάρμοσα Θ.Μ.Τ.Ο.Λ. στα $\left[\frac{\kappa-1}{\nu},\frac{\kappa}{\nu}\right]\,,\; \kappa=1,2,\ldots,\nu$ , από όπου
$\displaystyle\frac{1}{\nu}\,f(\xi_{\kappa})=\int_{\frac{\kappa-1}{\nu}}^{\frac{\kappa}{\nu}}f(x)\,dx$
και

$\begin{aligned}\left|\int_0^1f(x)\,dx-\frac{1}{\nu}\sum_{\kappa=1}^{\nu}f\big(\tfrac{\kappa}{\nu}\big)\right|&=\left|\frac{1}{\nu}\sum_{\kappa=1}^{\nu}\left(f(\xi_{\kappa})-f\big(\tfrac{\kappa}{\nu}\big)\right)\right|\\ &\leqslant\frac{1}{\nu}\sum_{\kappa=1}^{\nu}\left|f(\xi_{\kappa})-f\big(\tfrac{\kappa}{\nu}\big)\right|\\ &\leqslant\frac{1}{\nu}\sum_{\kappa=1}^{\nu} K\left|\xi_{\kappa}-\frac{\kappa}{\nu}\right|\\ &\leqslant\frac{1}{\nu}\sum_{\kappa=1}^{\nu}\frac{K}{\nu}\\ &=\frac{K}{\nu}\,. \end{aligned}$

Λάμπρος Κατσάπας · #4

grigkost έγραψε: ↑
Τετ Απρ 04, 2018 6:29 pm
Αφού μετά από αυτήν τη ανισότητα αναρτήθηκε και αυτή, να δώσω και μια γενίκευση σε αυτόν τον φάκελο:

Έστω $f:[{0,1}]\longrightarrow\mathbb{R}$ μία συνάρτηση με την ιδιότητα Lipschitz, δηλαδή τέτοια ώστε, για $K\in\mathbb{R}^{+}$ και για κάθε $x,\,y\in[0,1]$ , να ισχύει:

$|{f(x)-f(y)}|\leqslant{K}\,|{x-y}|\,.$
Να αποδειχθεί ότι, για κάθε $\nu\in\mathbb{N}$ , ισχύει

$\displaystyle\bigg|\int_{0}^{1}{f(x)\,dx}-\frac{1}{\nu}\mathop{\sum}\limits_{\kappa=1}^{\nu}f\big(\tfrac{\kappa}{\nu}\big)\bigg|\leqslant\frac{K}{2\nu}\,.$

Σημείωση: Η άσκηση υπάρχει άλυτη σε βιβλίο Απ. Λογ. ΙΙ και είναι γενίκευση της 1ης ανισότητας (που δημοσίευσε ο Λ. Κατσάπας). Έχω λύση για την περίπτωση όπου το φράγμα είναι $\frac{K}{\nu}$ αλλά όχι και για το $\frac{K}{2\nu}$ .

Καλησπέρα κ. Γρηγόρη. Η άσκηση υπάρχει στο στο Berkeley problems in Mathematics.Εκεί υπάρχει η γενίκευση που

γράψατε. Από εκεί την ψάρεψα απλά την προσάρμοσα σε σχολικά πλαίσια. Η λύση που παρουσιάζεται εκεί είναι ίδια με

αυτή που προτάθηκε παραπάνω. Να σημειώσω ότι γενικά η σύγκλιση είναι αργή (παρονομαστής n).

mikemoke · #5

Ισχύει ότι

$K(x-\frac{i+1}{n})+f(\frac{i+1}{n})\leq f(x)\leq -K(x-\frac{i+1}{n})+f(\frac{i+1}{n})$ $\forall x\in [\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}] ,\forall i\in {0,1,2,...,n-1}$

$\Rightarrow \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}K(x-\frac{i+1}{n})+f(\frac{i+1}{n}) dx\leq \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}f(x)dx \leq\int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}-K(x-\frac{i+1}{n})+f(\frac{i+1}{n}) dx$

$\Rightarrow \left [\frac{K(x-\frac{i+1}{n})^2}{2} +xf(\frac{i+1}{n}) \right ]_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}\leq \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}f(x)dx\leq \left [\frac{-K(x-\frac{i+1}{n})^2}{2} +xf(\frac{i+1}{n}) \right ]_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}$

$\Rightarrow\frac{-K}{2n^2}+\frac{f(\frac{i+1}{n})}{n} \leq \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}f(x)dx\leq \frac{K}{2n^2}+\frac{f(\frac{i+1}{n})}{n}$

$\Rightarrow \sum_{i=0}^{n-1} \frac{-K}{2n^2} \leq \sum_{i=0}^{n-1}\int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}f(x)dx-\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f(\frac{i+1}{n})}{n} \leq \sum_{i=0}^{n-1} \frac{K}{2n^2}$

$\Rightarrow \frac{-K}{2n}\leq \int_{0}^{1}f(x)dx -\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f(\frac{i+1}{n})}{n} \leq \frac{K}{2n}$

$\Rightarrow \frac{-K}{2n}\leq \int_{0}^{1}f(x)dx -\sum_{i=1}^{n}\frac{f(\frac{i}{n})}{n} \leq \frac{K}{2n}$

Tolaso J Kos · #6

Δε ξέρω αν προσθέτω κάτι παραπάνω ή επαναλαμβάνω τα ίδια με τους προλαλήσαντες αλλά δίδω και αυτή:

$\displaystyle{\begin{aligned} \left|\int_{0}^{1}f(x)\; \mathrm{d} x-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f \left ( \frac{k}{n} \right )\right|&=\left|\sum_{k=1}^{n}\int_{(k-1)/n}^{k/n} \bigg(f(x)-f\left ( \frac{k}{n} \right ) \bigg) \, \mathrm{d}x \right|\\ &\leq M\sum_{k=1}^{n}\int_{(k-1)/n}^{k/n}\left|x- \frac{k}{n} \right|dx\\ &=M\sum_{k=1}^{n}\int_{(k-1)/n}^{k/n}\left(\frac{k}{n}-x \right)dx\\ &=M\left(-\int_{0}^{1}x \; \mathrm{d}x+\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}k\right)\\ &=M\left(-\frac{1}{2}+\dfrac{1}{n^{2}}\cdot\dfrac{n^{2}+n}{2}\right)\\ &=\frac{M}{2n} \end{aligned }$

Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα

Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα

Re: Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα

Re: Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα

Re: Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα

Re: Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα

Re: Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση