Ολοκλήρωμα και όριο

sot arm · #1

Στο πνεύμα αυτών που έχουμε δει τις τελευταίες μέρες,
Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} }$ με συνεχή πρώτη παράγωγο, να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}n(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})-\int_{0}^{1}f(x)dx)= \frac{f(1)-f(0)}{2}}$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

$a_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})-\int_{0}^{1}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(\frac{i}{n})-f(x)dx. (1)$

Από το ΘΜΤ στο $[x,\frac{i}{n}]$ η (1)

γίνεται

$na_{n}=n\sum_{i=1}^{n}{f}'(\xi _{i}) \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}\frac{i}{n}-xdx=\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n}{f}'(\xi _{i})\rightarrow \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{f}'(x)dx=\frac{f(1)-f(0)}{2}.$

Ολοκλήρωμα και όριο

Ολοκλήρωμα και όριο

Re: Ολοκλήρωμα και όριο

Μέλη σε σύνδεση