Προετοιμασία για BMO-Άλγεβρα και θεωρία αριθμών

Datis-Kalali · #1

Θέμα 1: Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους (x,y)

που ικανοποιούν την εξίσωση
$3^{2x-1}+3^x+1=7^{y}$
Θέμα 2: Έστω ότι a,b,c

είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δείξετε ότι $\frac{a^3b}{(3a+2b)^3}+\frac{b^3c}{(3b+2c)^3}+\frac{c^3a}{(3c+2a)^3} \ge \frac{a^2bc}{(2a+2b+c)^3}+\frac{ab^2c}{(2b+2c+a)^3}+\frac{abc^2}{(2c+2a+b)^3}$
Πηγή: 3ο γύρο Περσικής Ολυμπιάδας 2017

min## · #2

Για το πρώτο με mod4,8

:
$x,y\equiv 1 mod2$ .
Με mod 9

, για $x\geq 2$ , $y\equiv 0 mod3$ .Από τα παραπάνω είναι y=6k+3

, και με mod 13 το 7^a

αφήνει υπόλοιπα: 7,10,5,9,11,12,6,3,8,4,2,1

,άρα το

5 ή 8.Έπεται πως $3^x+3^{2x-1}\equiv 4,7 mod 13$ .το οποίο λόγω του ότι $3^a\equiv 3,9,1 mod 13$ και λόγω της αρτιότητας του x είναι άτοπο κλπ.

2nisic · #3

Να βρεθούν οι φυσικοί x,y,z, τέτοιοι ώστε:

3^x+3^y+1=7^z

Έστω $x\geqslant y$ διακρίνουμε τής περίπτωσης:

Με mod8

έχω $x\equiv y\equiv z\equiv 1(mod2)$ (γιατί;)

Αν $y\geq 2$
Με mod9

έχω:
$LHS\equiv 1(mod9)\Leftrightarrow 7^{z}\equiv 1(mod9)\Leftrightarrow z\equiv 0(mod3)$
Τώρα με mod19

$7^{z}-1\equiv 1-1\equiv 0(mod19)\Leftrightarrow 3^{y}(3^{x-y}-1)\equiv 0(mod19)\Leftrightarrow x-y\equiv 0(mod18)\Leftrightarrow x\equiv y(mod18)\Rightarrow x\equiv y(mod3)$
Και τώρα με mod13

έχουμε:
$7^{z}-1\equiv 4or7(mod13)$
$3^{x}+3^{y}\equiv (3+3)or(9+9)or(1+1)\equiv 6or5or2(mod13)$
contradiction

Αν

έχω: $3^{x}+4=7^{z}$

Αν x=1

έχω

Αν

τότε :
Με mod9

έχω:
$7^{z}\equiv 4(mod9)\Leftrightarrow z\equiv 2(mod3)$
Με mod19

εχω:
$7^{z}-4\equiv 49-4\equiv 7(mod19)\Leftrightarrow 3^{x}\equiv 7(mod19)\Leftrightarrow x\equiv 6(mod18)$
Που είναι αδύνατο με mod7

Άρα μοναδική λύση η (x,y,z):(1,1,1)

Προετοιμασία για BMO-Άλγεβρα και θεωρία αριθμών

Προετοιμασία για BMO-Άλγεβρα και θεωρία αριθμών

Re: Προετοιμασία για BMO-Άλγεβρα και θεωρία αριθμών

Re: Προετοιμασία για BMO-Άλγεβρα και θεωρία αριθμών

Μέλη σε σύνδεση