Ολοκλήρωση φραγμένης παραγώγου
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Ολοκλήρωση φραγμένης παραγώγου
Εστω
παραγωγίσημη ώστε υπάρχει
με
1)Να δειχθεί ότι η είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη.
2)Για είναι
(εννοείτε ότι τα ολοκληρώματα είναι με την έννοια του Lebesgue)
παραγωγίσημη ώστε υπάρχει
με
1)Να δειχθεί ότι η είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη.
2)Για είναι
(εννοείτε ότι τα ολοκληρώματα είναι με την έννοια του Lebesgue)
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ολοκλήρωση φραγμένης παραγώγου
Γεια χαρά. Με θα συμβολίζουμε το σύνολο των απλών συναρτήσεων του .
Έστω τέτοια, ώστε . Tότε,
. Συνεπώς,
και αφού,
προκύπτει ότι
Άρα, , οπότε η είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη.
2. Αυτό κάνει χρήση του Θεωρήματος Vitali - Kαραθεοδωρή και έχει αρκετά μεγάλη απόδειξη. Έχετε στο νου σας κύριε Στάυρο κάτι άλλο ;
Έστω τέτοια, ώστε . Tότε,
. Συνεπώς,
και αφού,
προκύπτει ότι
Άρα, , οπότε η είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη.
2. Αυτό κάνει χρήση του Θεωρήματος Vitali - Kαραθεοδωρή και έχει αρκετά μεγάλη απόδειξη. Έχετε στο νου σας κύριε Στάυρο κάτι άλλο ;
Παπαπέτρος Ευάγγελος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ολοκλήρωση φραγμένης παραγώγου
Γεια σου Ευάγγελε.BAGGP93 έγραψε: ↑Πέμ Απρ 19, 2018 5:03 pmΓεια χαρά. Με θα συμβολίζουμε το σύνολο των απλών συναρτήσεων του .
Έστω τέτοια, ώστε . Tότε,
. Συνεπώς,
και αφού,
προκύπτει ότι
Άρα, , οπότε η είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη.
2. Αυτό κάνει χρήση του Θεωρήματος Vitali - Kαραθεοδωρή και έχει αρκετά μεγάλη απόδειξη. Έχετε στο νου σας κύριε Στάυρο κάτι άλλο ;
Αφού η παράγωγος είναι φραγμένη θα είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη αν και μόνο αν είναι μετρήσιμη.
Εκείνο που πρέπει να δείξουμε είναι ότι είναι μετρήσιμη.
Το 2 ισχύει γενικότερα αν η παράγωγος υπάρχει παντού είναι πεπερασμένη και Lebesgue ολοκληρώσιμη.
(ισως να μπορούν να εξασθενήσουν και άλλο οι προυποθέσεις)
Αυτή η απόδειξη είναι όντως μακροσκελής.
Για το δικό μου το μόνο βαρύ είναι το κυριαρχημένης σύγκλισης.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ολοκλήρωση φραγμένης παραγώγου
Επαναφορά.
Υπόδειξη.
Θεωρήστε τις συναρτήσεις
αφού επεκταθεί η ώστε να είναι καλά ορισμένες.
Υπόδειξη.
Θεωρήστε τις συναρτήσεις
αφού επεκταθεί η ώστε να είναι καλά ορισμένες.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ολοκλήρωση φραγμένης παραγώγου
Βάζω την λύση
Για θέτουμε
Ετσι οι συναρτήσεις είναι καλά ορισμένες στο .
Σαν συνεχείς είναι μετρήσιμες και
Αρα η είναι μετρήσιμη σαν κατά σημείο όριο μετρησίμων.
Επειδή είναι και φραγμένη είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη.
Από Θ.Μ.Τ κάθε είναι φραγμένη.
Από το θεώρημα κυριαρχιμένης σύγκλισης έχουμε
(1)
Αλλά (2)
Ευκολα βλέπουμε ότι
Αλλά αφού η είναι συνεχής θα έχουμε
παίρνοντας το όριο οι (1),(2) δίνουν το ζητούμενο για
Για τα άλλα δουλεύουμε στο διάστημα
Για θέτουμε
Ετσι οι συναρτήσεις είναι καλά ορισμένες στο .
Σαν συνεχείς είναι μετρήσιμες και
Αρα η είναι μετρήσιμη σαν κατά σημείο όριο μετρησίμων.
Επειδή είναι και φραγμένη είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη.
Από Θ.Μ.Τ κάθε είναι φραγμένη.
Από το θεώρημα κυριαρχιμένης σύγκλισης έχουμε
(1)
Αλλά (2)
Ευκολα βλέπουμε ότι
Αλλά αφού η είναι συνεχής θα έχουμε
παίρνοντας το όριο οι (1),(2) δίνουν το ζητούμενο για
Για τα άλλα δουλεύουμε στο διάστημα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες