Έλεγχος καθετότητας
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Έλεγχος καθετότητας
Καλή Ανάσταση σε όλους!
Τα τμήματα είναι εφαπτόμενα στον κύκλο με κέντρο το .
Ευθεία από το τέμνει τον κύκλο στα και την χορδή στο .
Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει το τόξο του κύκλου στο . Να εξεταστεί αν ισχύει :
Ευπρόσδεκτη προφανώς κάθε λύση. Επιθυμητή και λύση (όχι κατ' ανάγκην πρώτη) με ύλη , που ίσως να μην είναι στην εξεταστέα
να αναφέρεται όμως στο σχολικό βιβλίο ..με σκοπό βεβαίως να καταλάβουμε τη λύση -κατά το δυνατόν- περισσότεροι από εμάς.
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Ευθεία από το τέμνει τον κύκλο στα και την χορδή στο .
Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει το τόξο του κύκλου στο . Να εξεταστεί αν ισχύει :
Ευπρόσδεκτη προφανώς κάθε λύση. Επιθυμητή και λύση (όχι κατ' ανάγκην πρώτη) με ύλη , που ίσως να μην είναι στην εξεταστέα
να αναφέρεται όμως στο σχολικό βιβλίο ..με σκοπό βεβαίως να καταλάβουμε τη λύση -κατά το δυνατόν- περισσότεροι από εμάς.
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Έλεγχος καθετότητας
Πρόκειται για ιδιαίτερα προφανή καθετοτητα έχω την εντύπωση ΓιώργοΓιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Σάβ Απρ 07, 2018 9:56 pmΚαλή Ανάσταση σε όλους!
Έλεγχος καθετότητας.PNG
Τα τμήματα είναι εφαπτόμενα στον κύκλο με κέντρο το .
Ευθεία από το τέμνει τον κύκλο στα και την χορδή στο .
Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει το τόξο του κύκλου στο . Να εξεταστεί αν ισχύει :
Ευπρόσδεκτη προφανώς κάθε λύση. Επιθυμητή και λύση (όχι κατ' ανάγκην πρώτη) με ύλη , που ίσως να μην είναι στην εξεταστέα
να αναφέρεται όμως στο σχολικό βιβλίο ..με σκοπό βεβαίως να καταλάβουμε τη λύση -κατά το δυνατόν- περισσότεροι από εμάς.
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Έλεγχος καθετότητας
Στα γρήγορα:
(Τα σημεία είναι με αγγλικούς χαρακτήρες)
Έστω το μέσο του .
Λόγω του ότι το ανήκει στην πολική του ως προς τον κύκλο με κέντρο , έχουμε πως η τετράδα είναι αρμονική. Επομένως από την σχέση έχουμε πως:
.
Άρα από τις μετρικές ιδιότητες των πολικών έχουμε πως το ανήκει στην πολική του ως προς τον κύκλο με κέντρο .
Από δύναμη σημείου έχουμε πως .
Όμως (ακτίνες στον κύκλο κέντρο το ).
Επομένως έχουμε πως , δηλαδή η δύναμη του στον κύκλο με κέντρο το είναι ίση με , άρα η είναι εφαπτόμενη σε αυτό τον κύκλο (που βασικά είναι ημικύκλιο στο σχήμα). Άρα και το ανήκει στην πολική του .
Συνοψίζοντας λοιπόν η πολική του στο ημικύκλιο είναι η , άρα προφανώς , δηλαδή .
Το σχήμα θα προστεθεί αύριο.
Καλή Ανάσταση!
(Τα σημεία είναι με αγγλικούς χαρακτήρες)
Έστω το μέσο του .
Λόγω του ότι το ανήκει στην πολική του ως προς τον κύκλο με κέντρο , έχουμε πως η τετράδα είναι αρμονική. Επομένως από την σχέση έχουμε πως:
.
Άρα από τις μετρικές ιδιότητες των πολικών έχουμε πως το ανήκει στην πολική του ως προς τον κύκλο με κέντρο .
Από δύναμη σημείου έχουμε πως .
Όμως (ακτίνες στον κύκλο κέντρο το ).
Επομένως έχουμε πως , δηλαδή η δύναμη του στον κύκλο με κέντρο το είναι ίση με , άρα η είναι εφαπτόμενη σε αυτό τον κύκλο (που βασικά είναι ημικύκλιο στο σχήμα). Άρα και το ανήκει στην πολική του .
Συνοψίζοντας λοιπόν η πολική του στο ημικύκλιο είναι η , άρα προφανώς , δηλαδή .
Το σχήμα θα προστεθεί αύριο.
Καλή Ανάσταση!
Houston, we have a problem!
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Έλεγχος καθετότητας
Χριστός Ανέστη!Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Σάβ Απρ 07, 2018 9:56 pmΚαλή Ανάσταση σε όλους!
Έλεγχος καθετότητας.PNG
Τα τμήματα είναι εφαπτόμενα στον κύκλο με κέντρο το .
Ευθεία από το τέμνει τον κύκλο στα και την χορδή στο .
Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει το τόξο του κύκλου στο . Να εξεταστεί αν ισχύει :
Ευπρόσδεκτη προφανώς κάθε λύση. Επιθυμητή και λύση (όχι κατ' ανάγκην πρώτη) με ύλη , που ίσως να μην είναι στην εξεταστέα
να αναφέρεται όμως στο σχολικό βιβλίο ..με σκοπό βεβαίως να καταλάβουμε τη λύση -κατά το δυνατόν- περισσότεροι από εμάς.
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Έστω το κέντρο του ημικυκλίου. Δύναμη σημείου ως προς κύκλο
Δύναμη σημείου διαδοχικά ως προς και και
Άρα, (συνθήκη καθετότητας).
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Έλεγχος καθετότητας
Καλημέρα σε όλους. Στάθη , Διονύση και Γιώργο σας ευχαριστώ για το ενδιαφέρον!
Αναμενόμενο , σίγουρο θα έλεγα , η καθετότητα να είναι ολοφάνερη στον Στάθη..
επίσης φανερό , ότι η θαυμάσια λύση του Διονύση υπερβαίνει το επίπεδο του Λυκείου!
Όμως πολλοί από μας , θέλουμε εργαλεία του Λυκείου για να κατανοήσουμε τη λύση...το έργο ανέλαβε ο άοκνος Γ.Β !
Ο Διονύσης έγραψε " Λόγω του ότι το ανήκει στην πολική του ως προς τον κύκλο με κέντρο
έχουμε πως η τετράδα ) είναι αρμονική".
Η πρόταση αυτή , που εμφανίζεται και αλλού , μου έδωσε την αφορμή για την δημιουργία του παρόντος θέματος .
Θα πρότεινα λοιπόν να κάνουμε ακόμη έναν κόπο
για την απόδειξη -με ύλη του σχολικού- του ζητουμένου που ακολουθεί: Τα είναι εφαπτόμενα του κύκλου και το σημείο της (πολικής) . Η τέμνει τον κύκλο στα .
Να δειχθεί ότι ισχύει δηλ. τα χωρίζουν το τμήμα εσωτερικά και εξωτερικά στον ίδιο λόγο
και προς τούτο η τετράδα λέγεται αρμονική.
Προτίθεμαι σε επόμενη ανάρτηση να δώσω και τη δική μου , Λυκειακή προσέγγιση για το αρχικό ζητούμενο.
Φιλικά , Γιώργος.
Αναμενόμενο , σίγουρο θα έλεγα , η καθετότητα να είναι ολοφάνερη στον Στάθη..
επίσης φανερό , ότι η θαυμάσια λύση του Διονύση υπερβαίνει το επίπεδο του Λυκείου!
Όμως πολλοί από μας , θέλουμε εργαλεία του Λυκείου για να κατανοήσουμε τη λύση...το έργο ανέλαβε ο άοκνος Γ.Β !
Ο Διονύσης έγραψε " Λόγω του ότι το ανήκει στην πολική του ως προς τον κύκλο με κέντρο
έχουμε πως η τετράδα ) είναι αρμονική".
Η πρόταση αυτή , που εμφανίζεται και αλλού , μου έδωσε την αφορμή για την δημιουργία του παρόντος θέματος .
Θα πρότεινα λοιπόν να κάνουμε ακόμη έναν κόπο
για την απόδειξη -με ύλη του σχολικού- του ζητουμένου που ακολουθεί: Τα είναι εφαπτόμενα του κύκλου και το σημείο της (πολικής) . Η τέμνει τον κύκλο στα .
Να δειχθεί ότι ισχύει δηλ. τα χωρίζουν το τμήμα εσωτερικά και εξωτερικά στον ίδιο λόγο
και προς τούτο η τετράδα λέγεται αρμονική.
Προτίθεμαι σε επόμενη ανάρτηση να δώσω και τη δική μου , Λυκειακή προσέγγιση για το αρχικό ζητούμενο.
Φιλικά , Γιώργος.
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Έλεγχος καθετότητας
Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Σάβ Απρ 07, 2018 9:56 pmΚαλή Ανάσταση σε όλους!
Έλεγχος καθετότητας.PNG
Τα τμήματα είναι εφαπτόμενα στον κύκλο με κέντρο το .
Ευθεία από το τέμνει τον κύκλο στα και την χορδή στο .
Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει το τόξο του κύκλου στο . Να εξεταστεί αν ισχύει :
Ευπρόσδεκτη προφανώς κάθε λύση. Επιθυμητή και λύση (όχι κατ' ανάγκην πρώτη) με ύλη , που ίσως να μην είναι στην εξεταστέα
να αναφέρεται όμως στο σχολικό βιβλίο ..με σκοπό βεβαίως να καταλάβουμε τη λύση -κατά το δυνατόν- περισσότεροι από εμάς.
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Έστω κέντρο του ημικυκλίου
εφαπτόμενη του ημικυκλίου
Ακόμη, και
Άρα
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Έλεγχος καθετότητας
Ξεφεύγοντας λίγο....Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Σάβ Απρ 07, 2018 9:56 pmΤα τμήματα είναι εφαπτόμενα στον κύκλο με κέντρο το .
Ευθεία από το τέμνει τον κύκλο στα και την χορδή στο .
Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει το τόξο του κύκλου στο . Να εξεταστεί αν ισχύει :
Πάντως το σημείο είναι το ριζικό κέντρο των κύκλων , όταν είναι το μέσον της χορδής οπότε μάλλον εδώ τελειώσαμε με την καθετότητα σε ισχύ, αφού η κοινή χορδή των κύκλων και που ένα σημείο τομής τους είναι το , είναι κάθετη στη διάκεντρό τους.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Έλεγχος καθετότητας
Χαιρετώ και πάλι. Να ευχαριστήσω επιπλέον τους Μιχάλη και Σωτήρη για τις ωραίες προσεγγίσεις-λύσεις τους!
Με την άδειά σας Μιχάλη και Σωτήρη , ας γράψω επ' αυτών λίγα λόγια επεξηγηματικά.
Στο τέλος της λύσης του Μιχάλη : Το τρίγωνο είναι στο ορθογώνιο και το είναι όμοιο με αυτό
αφού έχουν την κοινή και ισχύει . Άρα δηλ
Στη λύση του Σωτήρη απλά να τονίσω ότι το λέγεται ριζικό κέντρο των τριών κύκλων επειδή έχει την ίδια δύναμη:
α) ως προς τον , β) ως προς τον
και γ) ως προς τον (αρνητική αφού κείται στο εσωτερικό και των τριών).
Tα σημεία με την ίδια δύναμη ως προς δύο τεμνόμενους κύκλους ανήκουν στην ευθεία της κοινής χορδής τους (ριζικός άξονας).
Το λοιπόν ανήκει στην κοινή χορδή των κύκλων και όπως βεβαίως και το .
Προφανώς η διάκεντρος είναι η μεσοκάθετος της κοινής αυτής χορδής !
Να υποθέσω , με πιθανότητα .. .. αστοχίας , ότι αυτό το τελευταίο " διέγνωσε εν ριπή οφθαλμού" ο αγαπητός Στάθης..
Θα επανέλθω για την απόδειξη που υποσχέθηκα . Φιλικά Γιώργος.
Με την άδειά σας Μιχάλη και Σωτήρη , ας γράψω επ' αυτών λίγα λόγια επεξηγηματικά.
Στο τέλος της λύσης του Μιχάλη : Το τρίγωνο είναι στο ορθογώνιο και το είναι όμοιο με αυτό
αφού έχουν την κοινή και ισχύει . Άρα δηλ
Στη λύση του Σωτήρη απλά να τονίσω ότι το λέγεται ριζικό κέντρο των τριών κύκλων επειδή έχει την ίδια δύναμη:
α) ως προς τον , β) ως προς τον
και γ) ως προς τον (αρνητική αφού κείται στο εσωτερικό και των τριών).
Tα σημεία με την ίδια δύναμη ως προς δύο τεμνόμενους κύκλους ανήκουν στην ευθεία της κοινής χορδής τους (ριζικός άξονας).
Το λοιπόν ανήκει στην κοινή χορδή των κύκλων και όπως βεβαίως και το .
Προφανώς η διάκεντρος είναι η μεσοκάθετος της κοινής αυτής χορδής !
Να υποθέσω , με πιθανότητα .. .. αστοχίας , ότι αυτό το τελευταίο " διέγνωσε εν ριπή οφθαλμού" ο αγαπητός Στάθης..
Θα επανέλθω για την απόδειξη που υποσχέθηκα . Φιλικά Γιώργος.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Έλεγχος καθετότητας
Γιώργο, είχα ακριβώς στο μυαλό μου τη λύση του ΔιονύσηΓιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Πέμ Απρ 12, 2018 11:15 pmΧαιρετώ και πάλι. Να ευχαριστήσω επιπλέον τους Μιχάλη και Σωτήρη για τις ωραίες προσεγγίσεις-λύσεις τους!
Με την άδειά σας Μιχάλη και Σωτήρη , ας γράψω επ' αυτών λίγα λόγια επεξηγηματικά.
Στο τέλος της λύσης του Μιχάλη : Το τρίγωνο είναι στο ορθογώνιο και το είναι όμοιο με αυτό
αφού έχουν την κοινή και ισχύει . Άρα δηλ
Στη λύση του Σωτήρη απλά να τονίσω ότι το λέγεται ριζικό κέντρο των τριών κύκλων επειδή έχει την ίδια δύναμη:
α) ως προς τον , β) ως προς τον
και γ) ως προς τον (αρνητική αφού κείται στο εσωτερικό και των τριών).
Tα σημεία με την ίδια δύναμη ως προς δύο τεμνόμενους κύκλους ανήκουν στην ευθεία της κοινής χορδής τους (ριζικός άξονας).
Το λοιπόν ανήκει στην κοινή χορδή των κύκλων και όπως βεβαίως και το .
Προφανώς η διάκεντρος είναι η μεσοκάθετος της κοινής αυτής χορδής !
Να υποθέσω , με πιθανότητα .. .. αστοχίας , ότι αυτό το τελευταίο " διέγνωσε εν ριπή οφθαλμού" ο αγαπητός Στάθης..
Θα επανέλθω για την απόδειξη που υποσχέθηκα . Φιλικά Γιώργος.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Έλεγχος καθετότητας
Καλό βράδυ. Μια προσπάθεια για την απόδειξη πρώτα της αρμονικότητας της ως άνω τετράδας
ώστε με χρήση αυτής να δείξουμε και την ζητούμενη καθετότητα. Στο σχ 1 θεωρούμε επιπλέον το μέσον της πολικής . Τότε ,όπως και στο θέμα ..Λυκειόπαις ισχύει
. Έτσι τα τρίγωνα είναι ίσα(Π-Γ-Π) οπότε
δηλ. εσωτερική διχοτόμος στο τρίγωνο
ενώ και άρα η εξωτερική διχοτόμος. Προκύπτει .
Στο σχ 2 το ανήκει στον Απολλώνιο κύκλο ( διάμετρος) , άρα που σημαίνει διχοτόμος του τριγώνου .
Ακόμη όπως έχει γραφεί εφαπτομένη στο ημικύκλιο οπότε και τελικά .
Φιλικά Γιώργος.
ώστε με χρήση αυτής να δείξουμε και την ζητούμενη καθετότητα. Στο σχ 1 θεωρούμε επιπλέον το μέσον της πολικής . Τότε ,όπως και στο θέμα ..Λυκειόπαις ισχύει
. Έτσι τα τρίγωνα είναι ίσα(Π-Γ-Π) οπότε
δηλ. εσωτερική διχοτόμος στο τρίγωνο
ενώ και άρα η εξωτερική διχοτόμος. Προκύπτει .
Στο σχ 2 το ανήκει στον Απολλώνιο κύκλο ( διάμετρος) , άρα που σημαίνει διχοτόμος του τριγώνου .
Ακόμη όπως έχει γραφεί εφαπτομένη στο ημικύκλιο οπότε και τελικά .
Φιλικά Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες