Διέρχεται από το μέσο

giannimani · #1

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC

θεωρούμε τα ύψη $AA_{1}$ , $BB_{1}$ και $CC_{1}$ και έστω

το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου.
Από το

φέρουμε τις κάθετες στις ευθείες $B_{1}C_{1}$ και $A_{1}C_{1}$ ,οι οποίες τέμνουν τις ημιευθείες

και

στα σημεία

και

αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι η κάθετη που άγεται από το σημείο

στην ευθεία $A_{1}B_{1}$ διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος

.

: probl_orth.png (53.31 KiB) Προβλήθηκε 1149 φορές

gavrilos · #2

Καλησπέρα.

Είναι εύκολο να δούμε ότι η κάθετος από το

προς την

είναι ισογώνια με τη CC_1

ως προς τις CA,CB

.Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι η CC_1

είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου $\triangle{ABC}$ .Θα χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω γνωστή ιδιότητα της συμμετροδιαμέσου:

Η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου $\triangle{CPQ}$ είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ,για τα οποία ισχύει $\cfrac{x}{y}=\cfrac{CQ}{CP}$ ,όπου οι αποστάσεις του από τις αντίστοιχα.

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι $\frac{HA_1}{HB_1}=\frac{CQ}{CP}\Leftrightarrow HA_1\cdot CP=HB_1\cdot CQ$ .Παρατηρούμε ότι $\hat{HPB_1}=\hat{EB_1}=\hat{HB_1A_1}$ όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι τα ύψη του τριγώνου είναι διχοτόμοι των γωνιών του ορθικού.Επίσης,είναι σαφές ότι $\hat{HA_1B_1}=\hat{HCB_1}$ .Από τα παραπάνω έπεται ότι $\triangle{HA_1B_1}\simeq \triangle{HPC}\Rightarrow \frac{HA_1}{HC}=\frac{A_1B_1}{CP}\Rightarrow HA_1\cdot CP=CH\cdot A_1B_1$ .Με όμοιο τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε ότι $\triangle{HQC}\simeq \triangle{HA_1B_1}$ ,οπότε $\frac{HB_1}{HC}=\frac{A_1B_1}{CQ}\Rightarrow HB_1\cdot CQ=CH\cdot A_1B_1\Rightarrow HB_1\cdot CQ=HA_1\cdot CP$ ,το οποίο είναι το ζητούμενο.

Διέρχεται από το μέσο

Διέρχεται από το μέσο

Re: Διέρχεται από το μέσο

Μέλη σε σύνδεση