Αποστασιομανία

#1

: Αποστασιομανία.png (16.78 KiB) Προβλήθηκε 837 φορές

Ο έγκυκλος τριγώνου ABC

εφάπτεται στις BC, AC, AB

στα

αντίστοιχα. Θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο

αυτού του κύκλου και έστω x, y, z

οι αποστάσεις του από τις πλευρές του τριγώνου ABC

και

οι αποστάσεις του

από τις πλευρές του DE F.

Να δείξετε ότι xyz=kmn.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Απρ 11, 2018 4:35 pm
Αποστασιομανία.png
Ο έγκυκλος τριγώνου εφάπτεται στις στα αντίστοιχα. Θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο αυτού του κύκλου και έστω οι αποστάσεις του από τις πλευρές του τριγώνου και οι αποστάσεις του από τις πλευρές του Να δείξετε ότι

Έστω και οι ορθές προβολές του στις και αντίστοιχα. Τότε από της ευθεία Euler του $P\in \left( I \right)$ ως προς το τρίγωνο $\vartriangle EDF$ και τις προφανείς ομοιότητες των ορθογωνίων τριγώνων … (λόγω οξειών γωνιών υπό χορδής και εφαπτομένης με τις αντίστοιχες εγγεγραμμένες) θα έχουμε:

: Αποστασιομανία.png (29.95 KiB) Προβλήθηκε 761 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \vartriangle PA'D \sim \vartriangle PEF' \Rightarrow \frac{x}{m} = \frac{{PD}}{{PE}} \\ \vartriangle PB'E \sim \vartriangle PD'F \Rightarrow \frac{y}{k} = \frac{{PE}}{{PF}} \\ \vartriangle PC'F \sim \vartriangle PE'D \Rightarrow \frac{z}{n} = \frac{{PF}}{{PD}} \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\left( \cdot \right)}$ $\dfrac{{xyz}}{{kmn}} = 1 \Rightarrow xyz = kmn$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Αποστασιομανία

Αποστασιομανία

Re: Αποστασιομανία

Μέλη σε σύνδεση