Θέμα 1 και ο κλώνος 2.

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλημέρα.

Από ένα παλιό βιβλίο του Θανάση Ξένου τα δυο ακόλουθα θέματα στο ίδιο πάνω κάτω μοτίβο.

Θέμα 1

Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη στο [α,β] και το $\displaystyle{{x_0} \in \left( {\alpha ,\beta } \right)}$ είναι μια λύση της εξίσωσης $\displaystyle{f(x) = 0}$ , να αποδειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{{f(\alpha )}}{{{x_0} - \alpha }} + \frac{{f(\beta )}}{{\beta - {x_0}}} < 0}$ .

Θέμα 2

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}$ και η $\displaystyle{{f'}}$ είναι γνήσια φθίνουσα στο $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}$ , να αποδειχθεί ότι για κάθε x>1 ισχύει:
$\displaystyle{f(x) > \frac{{f(x - 1) + f(x + 1)}}{2}}$ .

Θωμάς

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #2

ΘΕΜΑ 1

ΘΜΤ για την f στα [ α , x0 ] , [ x0 , β ]
υπάρχει $\displaystyle{ x_1 \in \left( {a,x_0 } \right) }$
$\displaystyle{ f'(x_1 ) = \frac{{f(x_0 ) - f(a)}}{{x_0 - a}} = \frac{{ - f(a)}}{{x_0 - a}} }$

υπάρχει $\displaystyle{ x_2 \in \left( {x_0 ,\beta } \right) }$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{ f'(x_2 ) = \frac{{f(\beta ) - f(x_0 )}}{{\beta - x_0 }} = \frac{{f(\beta )}}{{\beta - x_0 }} }$
Είναι $\displaystyle{ x_1 < x_2 \Rightarrow f'(x_1 ) > f'(x_2 ) }$ ( διότι η f΄ είναι γνησίως αύξουσα )
και με αντικατάσταση προκύπτει η ζητούμενη ...

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #3

Καλημέρα Χρήστο, τι κάνεις; Πως είσαστε στη Καβάλλα;

Το θέμα και ιδιαίτερα το πρώτο το έβαλα για μας (τους προπαρασκευαστές) γιατί στα θέματα αυτής της μορφής, εγώ τα λέω Θ.Μ.Τ με ρουφιάνο ή χωρίς (ας μου συγχωρεθεί η έκφραση) συνήθως υπάρχει ένα ερώτημα πριν που κατά τεκμήριο σε οδηγεί στο διαμερισμό του διαστήματος .... που συνήθως λύνεται με Bolzano ή Θ.Ε.Τ, αλλά εδώ περνάει μέσα στην εκφώνηση και ίσως ο μαθητής δεν το προσέξει, οπότε ας το τονίσουμε εμείς.

Θωμάς

#4

viewtopic.php?f=53&t=419&p=2293#p2293
Ίσως και να ενδιαφέρει...
Συνεχίζω να έχω τις (μαθηματικές) μου διαφωνίες για το f κοίλη => f' γνησίως φθίνουσα, ειδικά σε σχολικά΄θέματα...

#5

ΘΕΜΑ 2 JENSEN $\displaystyle{f(x)=f(\frac{(x-1)+(x+1)}{2})>...}$ η δυο ΘΜΤ...

Μάκης Χατζόπουλος · #6

R BORIS έγραψε: δυο ΘΜΤ...

Για να εγκαινιάσω το mathype

που έβαλα στον χώρο εργασίας μου δίνω αναλυτικά την λύση του Boris

Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ στα διαστήματα $\displaystyle{[x - 1,x],[x,x + 1]}$ οπότε υπάρχουν $\displaystyle{\xi _1 \in \left( {x - 1,x} \right)}$ και $\displaystyle{ \xi _2 \in \left( {x,x + 1} \right) }$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{ f'\left( {\xi _1 } \right) = \frac{{f\left( x \right) - f\left( {x - 1} \right)}}{{x - \left( {x - 1} \right)}} = f\left( x \right) - f\left( {x - 1} \right) }$ και $\displaystyle{ f'\left( {\xi _2 } \right) = \frac{{f\left( {x + 1} \right) - f\left( x \right)}}{{\left( {x + 1} \right) - x}} = f\left( {x + 1} \right) - f\left( x \right) }$

Όμως η f ' είναι γν. φθίνουσα, οπότε: $\displaystyle{\xi _1 < \xi _2 }$ έχουμε: $\displaystyle{ f'\left( {\xi _1 } \right) > f'\left( {\xi _2 } \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) - f\left( {x - 1} \right) > f\left( {x + 1} \right) - f\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) > \frac{{f\left( {x - 1} \right) + f\left( {x + 1} \right)}}{2} }$

Σημείωση: Δίνω κάποιες σκέψεις για παραπάνω μελέτη, η ζητούμενη σχέση γράφεται
$\displaystyle{ f\left( x \right) > \frac{{f\left( {x - 1} \right) + f\left( {x + 1} \right)}}{2} }$ δηλ. γράφεται $\displaystyle{ \left[ {f\left( x \right) - x} \right] + \left[ {f\left( x \right) - x} \right] > \left[ {f\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] + \left[ {f\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right)} \right] }$ άρα η συνάρτηση $\displaystyle{ g\left( x \right) = f\left( x \right) - x }$ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις της συνάρτησης f ktl...

Θέμα 1 και ο κλώνος 2.

Θέμα 1 και ο κλώνος 2.

Re: Θέμα 1 και ο κλώνος 2.

Re: Θέμα 1 και ο κλώνος 2.

Re: Θέμα 1 και ο κλώνος 2.

Re: Θέμα 1 και ο κλώνος 2.

Re: Θέμα 1 και ο κλώνος 2.

Μέλη σε σύνδεση