Σταθερότητα ;
Συντονιστής: R BORIS
Σταθερότητα ;
σταθερή ( εν προκειμένω ). Οι κάθετες στα σημεία αυτά προς τον άξονα τέμνουν
την παραβολή με εξίσωση ( εν προκειμένω την ) , στα σημεία .
Οι εφαπτόμενες της καμπύλης στα σημεία αυτά τέμνονται στο σημείο .
Εξετάστε αν το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη
και τις δύο εφαπτόμενες , παραμένει σταθερό . Γενικεύστε ...
Λέξεις Κλειδιά:
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερότητα ;
Έστω με .
Οι εφαπτόμενες στα έχουν εξισώσεις :
και
Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους βρίσκουμε το σημείο τομής
Το άθροισμα των εμβαδών των δύο τραπεζίων είναι
Το εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση είναι
Η διαφορά των δύο είναι ,
το οποίο είναι ανεξάρτητο του
Στο παράδειγμα είναι , οπότε
Οι εφαπτόμενες στα έχουν εξισώσεις :
και
Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους βρίσκουμε το σημείο τομής
Το άθροισμα των εμβαδών των δύο τραπεζίων είναι
Το εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση είναι
Η διαφορά των δύο είναι ,
το οποίο είναι ανεξάρτητο του
Στο παράδειγμα είναι , οπότε
Kαλαθάκης Γιώργης
Re: Σταθερότητα ;
Επειδή η Γεωμετρία των κωνικών είναι γοητευτική, ας τα δούμε με Ευκλείδεια...
Πρόταση: Θεωρούμε την παραβολή εστίας Ε και κορυφής Α. Οι εφαπτόμενες στα άκρα της χορδής ΔΗ τέμνονται στο Σ και ισχύει:
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/The_Quadr ... e_Parabola
Στο πρόβλημά μας τώρα. Αν Δ' και Η' οι προβολές των Δ και Η στη διευθετούσα, με Δ'H' = 2h σταθερό, από το τρίτο της πρότασης προκύπτει ότι το ΓΖ είναι σταθερό, οπότε σταθερό θα είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΔΓΗ. Έτσι το ζητούμενο εμβαδό θα είναι .
Παράλληλα απαντήσαμε και στο https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=53&t=61797 .
Πρόταση: Θεωρούμε την παραβολή εστίας Ε και κορυφής Α. Οι εφαπτόμενες στα άκρα της χορδής ΔΗ τέμνονται στο Σ και ισχύει:
- Το Σ ανήκει στη διάμετρο της παραβολής στο Γ (πρόταση XIV, σελ. 50, στο [1])
- ΣΓ = ΓΖ (πρόταση XV, σελ. 51 στο [1])
- (πόρισμα, σελ. 53, στο [1])
- Για το εμβαδόν του παραβολικού χωρίου ΔΓΑΗΔ και το εμβαδόν του τριγώνου ΔΓΗ, ισχύει: Εμβ(ΔΓΑΗΔ)=Εμβ(ΔΓΗ) (στο [2])
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/The_Quadr ... e_Parabola
Στο πρόβλημά μας τώρα. Αν Δ' και Η' οι προβολές των Δ και Η στη διευθετούσα, με Δ'H' = 2h σταθερό, από το τρίτο της πρότασης προκύπτει ότι το ΓΖ είναι σταθερό, οπότε σταθερό θα είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΔΓΗ. Έτσι το ζητούμενο εμβαδό θα είναι .
Παράλληλα απαντήσαμε και στο https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=53&t=61797 .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες