Άσκηση Σταθερή Συνάρτηση

evry · #1

Δίνεται

, $g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη

Αν ισχύει $\forall x \in [0,1]$

$f(x) \cdot g'(x) + g(x) = 2$

να δείξετε ότι η g είναι σταθερή.

Καμιά ιδέα?

#2

evry έγραψε: Τρί Μάιος 15, 2018 11:28 pm Δίνεται , $g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη

Αν ισχύει $\forall x \in [0,1]$

$f(x) \cdot g'(x) + g(x) = 2$

να δείξετε ότι η g είναι σταθερή.

Καμιά ιδέα?

...μια ιδέα....

Από $f(x) \cdot g'(x) + g(x) = 2$ για κάθε $x\in [0,1]$ προκύπτει ότι g(0)=g(1)=2

Τώρα επειδή η

είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη σύμφωνα με το θεώρημα μεγίστης και ελάχιστης τιμής θα έχει μέγιστη τιμή,

έστω διάφορη του g(0)=g(1)=2

, άρα για κάποιο εσωτερικό σημείο του διαστήματος [0,1]

το ${{x}_{\mu }}\in (0,1)$

ισχύει $g(x)\le g({{x}_{\mu }})\ne 2$ τότε λόγω Fermat ${g}'({{x}_{\mu }})=0$ και

$f({{x}_{\varpi }})\cdot {g}'({{x}_{\mu }})+g({{x}_{\mu }})=2\Leftrightarrow g({{x}_{\mu }})=2$ άτοπο

άρα η μέγιστη τιμή αναγκαία είναι η g(0)=g(1)=2

Ανάλογη σκέψη για την ελάχιστη τιμή της οδηγούμαστε ότι η ελάχιστη τιμή της είναι η

g(0)=g(1)=2

άρα η $g(x)=2,\,\,\,x\in [0,\,1]$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

evry · #3

Ευχαριστώ πολύ, είχα κάνει και εγώ μια αντίστοιχη σκέψη, αλλά ήθελα κάτι πιο απλό, υπάρχει κάποια άλλη λύση.

Ένας μαθητής πρότεινε το εξής: παίρνω Rolle στο [1,2] και βρίσκω ένα ξ για το οποίο g'(ξ)=0 άρα από την σχέση παίρνω f(ξ)=0. Μετά παίρνω Rolle στο [0,ξ] και στο [ξ,1] και βρίσκω άλλα δυο σημεία στα οποία η

είναι σταθερή κοκ. Έτσι καλύπτω όλο το $\mathbb{R}$ . Προσωπικά μου άρεσε η λύση του μαθητή αν και ξέρω ότι δεν είναι σωστή. Τι χρειάζεται για να είναι ολοκληρωμένη?
Δεν με πειράζει αν είναι εκτός ύλης

#4

Μια απόδειξη ακόμα:

Από τη δοθείσα προκύπτει

$\displaystyle{f(x)g'(x)^2 +g(x)g'(x)=2g'(x)\implies \int_{0}^{1}f(x)g'(x)^2 dx +\int_{0}^{1}g(x)g'(x)dx=\int_{0}^{1}2g'(x)dx}$ .

Επειδή είναι $\displaystyle{g(0)=g(1)=2,}$ τα δύο δεξιά ολοκληρώματα ισούνται με μηδέν. Άρα

$\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)g'(x)^2 dx=0}$

και επειδή φανερά $\displaystyle{f(x)\geq 0,}$ με την ισότητα μόνο στα $\displaystyle{0,1,}$ πρέπει $\displaystyle{f(x)g'(x)^2\equiv 0.}$ Άρα $\displaystyle{g'(x)=0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in (0,1)}$

άρα, λόγω συνέχειας, $\displaystyle{g}$ σταθερή στο $\displaystyle{[0,1].}$

#5

evry έγραψε: Τετ Μάιος 16, 2018 12:29 am Ένας μαθητής πρότεινε το εξής: παίρνω Rolle στο [1,2] και βρίσκω ένα ξ για το οποίο g'(ξ)=0 άρα από την σχέση παίρνω f(ξ)=0. Μετά παίρνω Rolle στο [0,ξ] και στο [ξ,1] και βρίσκω άλλα δυο σημεία στα οποία η είναι σταθερή κοκ. Έτσι καλύπτω όλο το $\mathbb{R}$ . Προσωπικά μου άρεσε η λύση του μαθητή αν και ξέρω ότι δεν είναι σωστή. Τι χρειάζεται για να είναι ολοκληρωμένη?
Δεν με πειράζει αν είναι εκτός ύλης

Καλημέρα,

Η παραπάνω λύση, όπως ανέφερες κι εσύ, δεν είναι σωστή καθώς δεν μπορείς να καλύψεις το άπειρο μη αριθμήσιμο μέγεθος των πραγματικών αριθμών με άπειρα αλλά αριθμήσιμα βήματα μέσω του θεωρήματος Rolle. Το οποίο σημαίνει ότι όσα $\xi$ και να βρεις, πάντα θα υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί που δε θα τους έχεις καλύψει ώστε να βρεις τον τύπο της συνάρτησης

σε ολόκληρο το [0,1]

. Θα έχεις βρει απλά άπειρες τιμές της συνάρτησης στο [0,1]

. Άρα ο τρόπος αυτός δε μπαλώνεται και καταφεύγουμε στις όμορφες λύσεις του Βασίλη και του Θάνου που υπάρχουν παραπάνω (και μάλιστα σχολικές).

Αλέξανδρος

Tolaso J Kos · #6

Πριν χρόνια είχε πέσει στο μαθηματικό Αθηνών η εξής άσκηση. Αξίζει να διαβάσετε τη σχετική συζήτηση.

evry · #7

Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις σας.

mikemoke · #8

evry έγραψε: Τετ Μάιος 16, 2018 12:29 am Ευχαριστώ πολύ, είχα κάνει και εγώ μια αντίστοιχη σκέψη, αλλά ήθελα κάτι πιο απλό, υπάρχει κάποια άλλη λύση.

Ένας μαθητής πρότεινε το εξής: παίρνω Rolle στο [1,2] και βρίσκω ένα ξ για το οποίο g'(ξ)=0 άρα από την σχέση παίρνω f(ξ)=0. Μετά παίρνω Rolle στο [0,ξ] και στο [ξ,1] και βρίσκω άλλα δυο σημεία στα οποία η είναι σταθερή κοκ. Έτσι καλύπτω όλο το $\mathbb{R}$ . Προσωπικά μου άρεσε η λύση του μαθητή αν και ξέρω ότι δεν είναι σωστή. Τι χρειάζεται για να είναι ολοκληρωμένη?
Δεν με πειράζει αν είναι εκτός ύλης

Ένα μπάλωμα μπορεί και λάθος.
Αν αποδείξουμε ότι τα $\xi$ είναι πυκνά στο [0,1]

τότε από την συνέχεια της

έχουμε ότι $g(x)=2 \forall x\in [0,1]$

Έστω η ακολουθία $\xi _n$ που προκύπτει επαγωγικά από Rolle και τα σημεία συσσώρευσης της (σύνολο

).
Έστω το σύνολο

που αποτελείται από τα $x\in[0,1]$
τέτοια ώστε x=0

ή

ή $x=\xi _n\forall n\in\mathbb{N}$ ή $x\in K$
(Εφαρμόζω Rolle για το σύνολο τον διαστημάτων $(x,y) ,x<y\in S$ τέτοια ώστε $\nexists x'\in (x,y)$ με $x'\in S$ . Αν $\forall (x,y) ,x<y\in S$ $\exists x'\in (x,y)$ με $x'\in S$ τελειώσαμε.) την καλώ πρόταση

Αλλιώς προκύπτει μια νέα ακολουθία $\xi _1_{n}$
Έστω

τα $x=\xi _1_{n} \forall n \in \mathbb{N}$ και τα σημεία συσσώρευσής της $\xi _1_{n}$
Kαι $S_1=S\cup M$

Επαγωγικά έχουμε το $S_n= \bigcup_{n}(S_{n-1}\cup M_{n-1})$

$N=\lim_{n \to \infty}S_n$ , $N\subseteq [0,1]$
Άρα για το

μπορώ να τρέξω την

Άρα μπορούμε να κάνουμε transfinite induction .Άρα τα $\xi$ μπορούν να γίνουν πυκνά στο [0,1]

.

#9

mikemoke έγραψε: Τετ Μάιος 16, 2018 4:06 pm Επαγωγικά έχουμε το $S_n= \bigcup_{n}(S_{n-1}\cup M_{n-1})$

$N=\lim_{n \to \infty}S_n$ , $N\subseteq [0,1]$
Άρα για το μπορώ να τρέξω την
Άρα μπορούμε να κάνουμε transfinite induction .Άρα τα $\xi$ μπορούν να γίνουν πυκνά στο .

Ίσως δεν βλέπω κάτι γιατί αυτό τον καιρό πιέζομαι πάάάάρα πολύ (άλλωστε χρωστάω διάφορες απαντήσεις σε προηγούμενα ποστ) αλλά
κάτι δεν μου πάει καλά στο παραπάνω:

Τι μας εξασφαλίζει ότι στο νιοστό βήμα εύρεσης ακολουθίας, να σπάσει ο διάολος το ποδάρι του και όλα τα $\xi$ να βρίσκονται (αυτά και τα σημεία συσσώρευσής τους) στο $\displaystyle \left [ 0 , \frac {1}{3}- \frac {1}{n} \right ] \cup \left [ \frac {2}{3}+ \frac {1}{n} , 1\right ]$ ; Εδώ το καθένα είναι λίγο μεγαλύτερο από το προηγούμενό του αλλά του λείπει και μεγάλο κομμάτι μέχρι το [0,1]

. H transfinite induction θα δώσει το πολύ $\displaystyle \left [ 0 , \frac {1}{3} \right ] \cup \left [ \frac {2}{3} , 1\right ] \ne [0,1]$ .

Αργότερα θα βάλω και άλλη μία στοιχειώδη λύση (με συναρτήσεις) στο αρχικό πρόβλημα, διαφορετική από τις ωραίες λύσεις του Βασίλη και του Θάνου.

Ratio · #10

evry έγραψε: Τετ Μάιος 16, 2018 12:29 am Ευχαριστώ πολύ, είχα κάνει και εγώ μια αντίστοιχη σκέψη, αλλά ήθελα κάτι πιο απλό, υπάρχει κάποια άλλη λύση.

Ένας μαθητής πρότεινε το εξής: παίρνω Rolle στο [1,2] και βρίσκω ένα ξ για το οποίο g'(ξ)=0 άρα από την σχέση παίρνω f(ξ)=0. Μετά παίρνω Rolle στο [0,ξ] και στο [ξ,1] και βρίσκω άλλα δυο σημεία στα οποία η είναι σταθερή κοκ. Έτσι καλύπτω όλο το $\mathbb{R}$ . Προσωπικά μου άρεσε η λύση του μαθητή αν και ξέρω ότι δεν είναι σωστή. Τι χρειάζεται για να είναι ολοκληρωμένη?
Δεν με πειράζει αν είναι εκτός ύλης

Μία σκέψη είναι να μην προχωρήσει ο μαθητής με θ. Rolle στα υποδιαστήματα $(0,x_{0})$ και $(x_{0},1)$ αλλά με Θ.Μ.Τ παίρνοντας τις περιπτώσεις
1. $g(x) \uparrow , x\in (0,x_{0}) \\$
$g(x) \downarrow , x \in (x_{0},1 )$ και
2. $g(x) \downarrow , x \in (0,x_{0}) \\$
$g(x) \uparrow , x\in (x_{0},1)$

Έχοντας υποθέσει ότι $g(x_{0})<>2$ θα καταλήξει σε άτοπο

Υπάρχει και η λύση να αντιπαραγωγίσουν προσπαθώντας να βρουν την g(x)

. καθώς η

διατηρεί θετικό πρόσημο στο (0,1)

.
Έτσι θα είχαν μια κλασική περίπτωση αντιπαραγώγισης, την :
$g'(x)+\frac{1}{f(x)}g(x)=\frac{2}{f(x)}$

Yπολογίζοντας το ολοκλήρωμα της 1/f(x)

.

Για την εκπαιδευτική πλευρά της άσκησης στο θέμα αυτό, το ολοκλήρωμα διασπάται σε παράγοντες ως εξής:
$\int \frac{dx}{x^{6}-2x{4}+x^2}=\int \frac{dx}{x^{2}(x^{4}-2x^2+1)}=\\ \int \frac{dx}{x^{2}}\frac{1}{(x^{2}-1)^{2}}=\\ \int (\frac{\alpha}{x}+\frac{\beta}{x^{2}}+\frac{\gamma}{x+1}+\frac{\delta}{(x+1)^{2}}+\frac{\epsilon}{x-1}+\frac{\theta}{(x-1)^{2}})dx$
Εκεί θα κατέληγαν στην $g(x)=2+ce^{-F(x)}$ και θα σημείωναν αδυναμια υπολογισμού του

evry · #11

Όσον αφορά αυτό που αναφέρει ο κύριος Λάμπρου, αν κατάλαβα καλά το πρόβλημα είναι ότι έχουμε μια διαδικασία παραγωγής αριθμών, από την οποία παράγεται ένα σύνολο το οποίο ναι μεν είναι άπειρο αλλά και αριθμήσιμο οπότε δεν μπορεί να καλύψει το σύνολο των πραγματικών αριθμών?
Δεν υπάρχει δηλαδή κάποιος τρόπος κατασκευαστικά να καλύψουμε το $\mathbb{R}$ ?

Θα το εκτιμούσα αν μου προτείνατε κάποια βιβλιογραφία ή συνδέσμους σε υλικό που εξηγεί τέτοια προβλήματα που έχουν σχέση με αριθμήσιμα σύνολα, πραγματικούς αριθμούς κλπ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #12

Αφου από ότι βλέπω κάποιοι θέλουν να πάμε στην Λάρισα μέσω Βορείου πόλου ας πάμε.

Θεωρούμε το σύνολο $E=\left \{ x\in [0,1]:g(x)=2 \right \}$

Το

είναι μη κενό και λόγω της συνέχειας της

κλειστό.

Από τα προηγούμενα το

έχει την ιδιότητα

Αν $x,y\in E,x< y$ τότε υπάρχει $z\in E$ με x<z<y

.

Θα δείξουμε ότι E=[0,1]

Αν δεν ισχύει τότε επειδή το συμπλήρωμα του είναι ανοικτό θα υπάρχουν $0\leq a< b\leqslant 1$

ώστε $E\cap (a,b)=\varnothing$

Αν πάρουμε $c=inf\left \{ x:x\geq b,x\in E \right \},d=sup\left \{ x:x\leq a,x \in E \right \}$

τότε επειδή είναι κλειστό $c,d\in E,d<c$

και προφανώς για κάθε

με

είναι $z\notin E$

ΑΤΟΠΟ.

Αρα E=[0,1]

evry · #13

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Μάιος 18, 2018 11:47 am Αφου από ότι βλέπω κάποιοι θέλουν να πάμε στην Λάρισα μέσω Βορείου πόλου ας πάμε.

Μερικές φορές το ταξίδι έχει σημασία, όχι ο προορισμός!

Ευχαριστώ για την απάντηση.

Άσκηση Σταθερή Συνάρτηση

Άσκηση Σταθερή Συνάρτηση

Re: Άσκηση Σταθερή Συνάρτηση

Re: Άσκηση Σταθερή Συνάρτηση

Re: Άσκηση Σταθερή Συνάρτηση

Re: Άσκηση Σταθερή Συνάρτηση

Re: Άσκηση Σταθερή Συνάρτηση

Re: Άσκηση Σταθερή Συνάρτηση

Re: Άσκηση Σταθερή Συνάρτηση

Re: Άσκηση Σταθερή Συνάρτηση

Re: Άσκηση Σταθερή Συνάρτηση

Re: Άσκηση Σταθερή Συνάρτηση

Re: Άσκηση Σταθερή Συνάρτηση

Re: Άσκηση Σταθερή Συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση