Βασική εκθετική

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x}{e^x-1}+\dfrac{x}{2}$

α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της

............................................................... ΜΟΝΑΔΕΣ 5
β) Βρείτε το f(ln5)

.............................................................................. ΜΟΝΑΔΕΣ 6
γ) Βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της

με την ευθεία y=x

..... ΜΟΝΑΔΕΣ 6
δ) Δείξτε ότι η

είναι άρτια ..................................................................... ΜΟΝΑΔΕΣ 8

Λήξης φραγής για τους μη μαθητές , η ώρα εκκίνησης της γιορτής του κ. Κ. Τηλέγραφου .

Βαγγέλης Κωστούλας · #2

Οι δικές μου απαντήσεις στα ερωτήματα της άσκησης είναι οι παρακάτω:
α) Για το πεδίο ορισμού: πρέπει $e^{x}-1\neq 0\Leftrightarrow e^{x}\neq1\Leftrightarrow e^{x}\neq e^{0}\Leftrightarrow x\neq 0$ , άρα $Df=\mathbb{R}-\begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix}$
β) $f\bigl(\begin{smallmatrix} ln5 \end{smallmatrix}\bigr)=\frac{ln5}{e^{ln5}-1}+\frac{ln5}{2}=\frac{ln5}{5-1}+\frac{ln5}{2}=\frac{ln5}{4}+\frac{ln5}{2}=\frac{3ln5}{4}.$
γ) Για το σημείο τομής της

με την ευθεία y=x

θα λύσουμε το σύστημα $\left\{\begin{matrix} y=x & \\ y=f\begin{pmatrix} x \end{pmatrix} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=x & \\ f\begin{pmatrix} x \end{pmatrix}=x & \end{matrix}\right.$

Από τη δεύτερη σχέση έχουμε: $f\begin{pmatrix} x \end{pmatrix}=x\Leftrightarrow \frac{x}{e^{x}-1}+\frac{x}{2}=x\Leftrightarrow 2x+(e^{x}-1)x=2x(e^{x}-1)\Leftrightarrow x(e^{x}-3)=0$ άρα ( $x\neq 0$ ) $e^{x}=3\Leftrightarrow x=ln3$ . Επομένως, πρόκειται για το σημείο έστω $A\begin{pmatrix} ln3,ln3 \end{pmatrix}$ .
δ) Για κάθε $x\in \mathbb{R}-\begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix}$ το $-x\in \mathbb{R}-\begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix}$ και

$\LARGE f\begin{pmatrix}-x\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -\frac{x}{e^{-x}-1} -\frac{x}{2} \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix} \frac{x}{\frac{1}{e^{x}}-1}+\frac{x}{2} \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix} \frac{-xe^{x}}{e^{x}-1}+x-\frac{x}{2} \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix} -\frac{x}{e^{x}-1}-\frac{x}{2} \end{pmatrix}$ το οποίο είναι το $\LARGE f\begin{pmatrix} x \end{pmatrix}$ , άρα η $\LARGE f$ άρτια.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 17, 2018 8:17 pm
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x}{e^x-1}+\dfrac{x}{2}$

.
Και ένα σχόλιο (κάπως εκτός σχολικής ύλης) τώρα που απαντήθηκε η ερώτηση.

Η παραπάνω συνάρτηση είναι πάρα πολύ καλά μελετημένη σε πιο προχωρημένη Ανάλυση.
Πρωτοεμφανίστηκε το 1713 στο περίφημο Ars Conjectandi του Jakob Bernoulli (1654-1705) (Το Ars Conjectandi
δημοσιεύτηκε μετά τον θάνατο του συγγραφέα).

Με απλές πράξεις δείχνουμε ότι ισούται με $\displaystyle{\frac {x}{2} \coth \frac {x}{2}}$

Μέσω αυτής ορίζονται οι λεγόμενοι αριθμοί B_m

του Bernoulli, οι οποίοι έχουν πολλές εφαρμογές
στα Μαθηματικά, π.χ. εμφανίζονται σε τύπους σχετικά με το $\displaystyle{\sum _{k=1}^nk^p}$ .

Η ερώτηση δ) παραπάνω είναι το κύριο βήμα στην απόδειξη ότι για περιττά

είναι

. Βλέπε εδώ.

Βασική εκθετική

Βασική εκθετική

Re: Βασική εκθετική

Re: Βασική εκθετική

Μέλη σε σύνδεση