Βοήθεια!!!

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Απάντηση
evitakron
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 18, 2015 12:34 pm

Βοήθεια!!!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από evitakron » Κυρ Μάιος 20, 2018 8:32 pm

Ένα θέμα που με ταλαιπωρεί 3 μέρες, αλλά δεν...

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f\left [ -1, \right+\infty )\rightarrow \mathbb{R}
για την οποία ισχύουν:

1. x{f}'\left ( x \right )+2x^2lnx=2x^2f(x)+e^x, x\geq 1
2. {f}'(1)=3e
3. f(x)>x^2+1, x\geq 1

Να αποδείξετε ότι f(x)>2x^2+lnx, x\geq 1

Πηγή: Από διαγώνισμα Κολλεγίου Αθηνών/ http://lisari.blogspot.gr/2018/05/blog-post_17.html


Λέξεις Κλειδιά:
ανισότητα
Κορυφή
nikkru
Δημοσιεύσεις: 348
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Βοήθεια!!!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Κυρ Μάιος 20, 2018 10:33 pm

evitakron έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 8:32 pm
 Ένα θέμα που με ταλαιπωρεί 3 μέρες, αλλά δεν...

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f\left [ -1, \right+\infty )\rightarrow \mathbb{R}
για την οποία ισχύουν:

1. x{f}'\left ( x \right )+2x^2lnx=2x^2f(x)+e^x, x\geq 1
2. {f}'(1)=3e
3. f(x)>x^2+1, x\geq 1

Να αποδείξετε ότι f(x)>2x^2+lnx, x\geq 1

Πηγή: Από διαγώνισμα Κολλεγίου Αθηνών/ http://lisari.blogspot.gr/2018/05/blog-post_17.html
Έστω g(x)=f(x)-2x^2-lnx, x\geq 1 , τότε g'(x)=f'(x)-4x-\frac{1}{x}=\frac{xf'(x)-4x^2-1}{x}.

Ο αριθμητής λόγω των 1. και 3. γίνεται:

xf'(x)-4x^2-1=2x^2f(x)-2x^2lnx+e^x-4x^2-1>2x^4+2x^2-2x^2lnx+e^x-4x^2-1=

=2x^2(x^2-1-lnx)+e^x-1 . Το τελευταίο είναι θετικό για x>1

αφού για x>1 είναι lnx<x-1<x^2-1 και e^x-1>0.

Άρα g(x) γνησίως αύξουσα με ελάχιστο το g(1)=e-2>0. Έτσι, για x\geq 1 είναι g(x)>0\Leftrightarrow f(x)>2x^2+lnx .


Κορυφή
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3714
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Βοήθεια!!!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μάιος 21, 2018 7:49 pm

nikkru έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 10:33 pm
evitakron έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 8:32 pm
 Ένα θέμα που με ταλαιπωρεί 3 μέρες, αλλά δεν...

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f\left [ -1, \right+\infty )\rightarrow \mathbb{R}
για την οποία ισχύουν:

1. x{f}'\left ( x \right )+2x^2lnx=2x^2f(x)+e^x, x\geq 1
2. {f}'(1)=3e
3. f(x)>x^2+1, x\geq 1

Να αποδείξετε ότι f(x)>2x^2+lnx, x\geq 1

Πηγή: Από διαγώνισμα Κολλεγίου Αθηνών/ http://lisari.blogspot.gr/2018/05/blog-post_17.html
Έστω g(x)=f(x)-2x^2-lnx, x\geq 1 , τότε g'(x)=f'(x)-4x-\frac{1}{x}=\frac{xf'(x)-4x^2-1}{x}.

Ο αριθμητής λόγω των 1. και 3. γίνεται:

xf'(x)-4x^2-1=2x^2f(x)-2x^2lnx+e^x-4x^2-1>2x^4+2x^2-2x^2lnx+e^x-4x^2-1=

=2x^2(x^2-1-lnx)+e^x-1 . Το τελευταίο είναι θετικό για x>1

αφού για x>1 είναι lnx<x-1<x^2-1 και e^x-1>0.

Άρα g(x) γνησίως αύξουσα με ελάχιστο το g(1)=e-2>0. Έτσι, για x\geq 1 είναι g(x)>0\Leftrightarrow f(x)>2x^2+lnx .
Δεν καταλαβαίνω από που προκύπτει το g(1)=e-2>0

Βέβαια είναι g(1)=f(1)-2>2-2=0 όπου χρησιμοποιήθηκε η 3 για x=1 οπότε η λύση δεν έχει πρόβλημα.

Η 2 βέβαια δεν χρειάζεται πουθενά. Αυτό βέβαια είναι μια μικρή λεπτομέρεια.

συμπλήρωμα. Βλέποντας ολόκληρο το θέμα η 2 χρειάζεται για άλλα υποερωτήματα που υπάρχουν στο θέμα.


Κορυφή
nikkru
Δημοσιεύσεις: 348
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Βοήθεια!!!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Δευ Μάιος 21, 2018 8:24 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 21, 2018 7:49 pm
 Δεν καταλαβαίνω από που προκύπτει το g(1)=e-2>0

Από την 1. για x=1 έχουμε: f'(1)=2f(1)+e και αφού f'(1)=3e προκύπτει f(1)=e, οπότε g(1)=e-2.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης