Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{2} x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}} \, \mathrm{d}x = \frac{16 \sqrt{2}}{15}}$

Σταμ. Γλάρος · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 21, 2018 10:23 am
Να δειχθεί ότι:

$I=\displaystyle{\int_{0}^{2} x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}} \, \mathrm{d}x = \frac{16 \sqrt{2}}{15}}$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Θέτω $u=\sqrt{4-x^2}$ . Είναι xdx = udu

, οπότε $I=\displaystyle{\int_{0}^{2} x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}}dx =\int_{0}^{2} \sqrt{2-u}\cdot udu$ .

Ξαναθέτω $t=\sqrt{2-u}$ . Είναι du=-2t dt

, οπότε $I=\displaystyle{\int_{\sqrt{2}}^{0} t(2-t^2)(-2t) dt = ... \frac{16 \sqrt{2}}{15}}$ .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 21, 2018 10:23 am
Να δειχθεί ότι:

$I=\displaystyle{\int_{0}^{2} x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}} \, \mathrm{d}x = \frac{16 \sqrt{2}}{15}}$

Χάριν ποικιλίας και για όφελος των μαθητών, αλλιώς: Θέτουμε $x=2\sin t$ οπότε

$x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}}= x \sqrt{2-\sqrt{4\cos ^2t}} = x \sqrt{2-2\cos t} = x \sqrt{2-2(1-2\sin ^2 \frac { t}{2})}=$

$= x \sqrt{4\sin ^2 \frac { t}{2}}= 2x\sin \frac { t}{2}= 4\sin t\sin \frac { t}{2}$ . Το ολοκλήρωμα γίνεται

$I=\displaystyle{8\int_{0}^{\pi / 2} \sin t\sin \frac { t}{2} \cos t \, \mathrm{d}t= 4\int_{0}^{\pi / 2} \sin 2t\sin \frac { t}{2} \mathrm{d}t$

που είναι απλό (γνωστό/βασικό).

Edit: Διόρθωσα λογιστική μικροαπροσεξία.

Christos.N · #4

Ας δούμε την συνέχεια τότε.

#5

Christos.N έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 22, 2018 2:12 am
Ας δούμε την συνέχεια τότε.

.
Υπόδειξη: $2\sin a \sin b = \cos (a-b)-\cos (a+b)$

Ας σημειώσω ότι πρόκειται για στάνταρ τεχνική που μπορεί κανείς να την
βρει σε όλα τα βιβλία με τεχνικές ολοκλήρωσης.

Tolaso J Kos · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 21, 2018 10:22 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 21, 2018 10:23 am
Να δειχθεί ότι:

$I=\displaystyle{\int_{0}^{2} x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}} \, \mathrm{d}x = \frac{16 \sqrt{2}}{15}}$
Χάριν ποικιλίας και για όφελος των μαθητών, αλλιώς: Θέτουμε $x=2\sin t$ οπότε

$x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}}= x \sqrt{2-\sqrt{4\cos ^2t}} = x \sqrt{2-2\cos t} = x \sqrt{2-2(1-2\sin ^2 \frac { t}{2})}=$

$= x \sqrt{4\sin ^2 \frac { t}{2}}= 2x\sin \frac { t}{2}= 2\sin t\sin \frac { t}{2}$ . Το ολοκλήρωμα γίνεται

$I=\displaystyle{4\int_{0}^{\pi / 2} \sin t\sin \frac { t}{2} \cos t \, \mathrm{d}t= 2\int_{0}^{\pi / 2} \sin 2t\sin \frac { t}{2} \mathrm{d}t$

που είναι απλό (γνωστό/βασικό).

Γεια σας κ. Μιχάλη. Κάπου πρέπει να σας έχει ξεφύγει ένα δυάρι γιατί αυτό που βγάζετε δεν ταιριάζει αριθμητικά.

#7

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 22, 2018 11:45 am
Κάπου πρέπει να σας έχει ξεφύγει ένα δυάρι γιατί αυτό που βγάζετε δεν ταιριάζει αριθμητικά.

Τόλη, έχεις δίκιο. Το διόρθωσα.

Τώρα είδα το μήνυμά σου καθώς ταξιδεύω για το εξωτερικό (συνέδριο Ιστορίας των Μαθηματικών, στην Ουγγαρία).

Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση