Συναρτησιακή εξίσωση

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$f(x) \geq 0,$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και

f(x + g(y)) = f(x) + f(y) + 2yg(x) − f(y − g(y)),

για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$

JimNt. · #2

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 10, 2018 9:13 pm
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$f(x) \geq 0,$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και

για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$

δίνει

. Συνεπώς, αν $y \neq 0$ είναι σίγουρο ότι g(y-g(y))=0

.

με $y \neq 0$ δίνει ότι 2(y-g(y))g(x)=0

. Αν

τότε κάθε

με την ζητούμενη ιδιότητα ικανοποιεί. Διαφορετικά αν υπάρχει y=g(y)

για $y \neq 0$ και εύκολα προκύπτει ότι και f(0)=0

. Συνεπώς, πρέπει f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy

. Θεωρούμε την συνάρτηση t(x)=f(x)-x^2

. Πρέπει

και $t(x) \ge -x^2$ . Συνεπώς, προκύπτει εύκολα ότι $t(x) \ge -\dfrac{x^2}{2^n}$ . Αν όμως έχουμε το

σταθερό και το $n \rightarrow ∞$ , τότε $t(x) \ge 0$ . Συνεπώς, $f(x) \ge x^2$ . H P(x,-x)

δίνει $2x^2 \le f(x)+f(-x)=2x^2$ . Άρα f(x)=x^2

που ικανοποιεί.

Συναρτησιακή εξίσωση

Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση