Τέλειο τετράγωνο
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 34
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 03, 2017 12:37 am
Τέλειο τετράγωνο
Aν θετικοί ακέραιοι,ώστε και ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές).
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Τέλειο τετράγωνο
Η δοσμένη εξίσωση γράφεται .ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ έγραψε: ↑Τρί Ιουν 12, 2018 11:34 pmAν θετικοί ακέραιοι,ώστε και ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές).
Είναι , με .
Αντικαθιστούμε και είναι .
Θέλουμε να δείξουμε ότι το είναι τέλειο τετράγωνο. Όμως, , αρκεί λοιπόν ο να είναι τέλειο τετράγωνο.
Έστω , και , με .
Είναι με αντικατάσταση ξανά , και αφού , και όμοια .
Αφού όμως .
Είναι λοιπόν .
Έτσι, , και .
Αν , είναι , άτοπο, αφού .
Άρα, , και έτσι .
Τελικά, , με , άρα το ζητούμενο δείχτηκε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 34
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 03, 2017 12:37 am
Re: Τέλειο τετράγωνο
Γεια σου Ορέστη ωραία η λύση σου!Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Τετ Ιουν 13, 2018 12:27 amΗ δοσμένη εξίσωση γράφεται .ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ έγραψε: ↑Τρί Ιουν 12, 2018 11:34 pmAν θετικοί ακέραιοι,ώστε και ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές).
Είναι , με .
Αντικαθιστούμε και είναι .
Θέλουμε να δείξουμε ότι το είναι τέλειο τετράγωνο. Όμως, , αρκεί λοιπόν ο να είναι τέλειο τετράγωνο.
Έστω , και , με .
Είναι με αντικατάσταση ξανά , και αφού , και όμοια .
Αφού όμως .
Είναι λοιπόν .
Έτσι, , και .
Αν , είναι , άτοπο, αφού .
Άρα, , και έτσι .
Τελικά, , με , άρα το ζητούμενο δείχτηκε.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Τέλειο τετράγωνο
Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Τετ Ιουν 13, 2018 12:27 amΗ δοσμένη εξίσωση γράφεται .ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ έγραψε: ↑Τρί Ιουν 12, 2018 11:34 pmAν θετικοί ακέραιοι,ώστε και ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές).
Είναι , με .
Αντικαθιστούμε και είναι .
Θέλουμε να δείξουμε ότι το είναι τέλειο τετράγωνο. Όμως, , αρκεί λοιπόν ο να είναι τέλειο τετράγωνο.
Διαφορετικά από εδώ.
Έστω πρώτος . Γράφουμε για τις μεγαλύτερες δυνάμεις του οι οποίες διαιρούν τα αντίστοιχα. Αφού , τουλάχιστον ένα από τα ισούται με .
Περίπτωση 1: Είναι . Επειδή , η μεγαλύτερη δύναμη του που διαιρεί το ισούται με . Αν όμως χωρίς βλάβη της γενικότητας , τότε η μεγαλύτερη δύναμη του που διαιρεί το είναι , άτοπο. Άρα . Οπότε η μεγαλύτερη δύναμη του που διαιρεί το είναι άρτια.
Περίπτωση 2: Είναι . Άρα . Χωρίς βλάβη της γενικότητας αλλά . Η μεγαλύτερη δύναμη του που διαιρεί το ισούται με και η μεγαλύτερη δύναμη του που διαιρεί το ισούται με . Άρα οπότε πάλι η μεγαλύτερη δύναμη του που διαιρεί το είναι άρτια.
Επειδή για κάθε πρώτο η μεγαλύτερη δύναμη του που διαιρεί το είναι άρτια, τότε ο είναι τέλειο τετράγωνο.
Αν και απέφυγα να το χρησιμοποιήσω, ο συμβολισμός για την μεγαλύτερη δύναμη του που διαιρεί τον είναι αρκετά χρήσιμος.
-
- Δημοσιεύσεις: 34
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 03, 2017 12:37 am
Re: Τέλειο τετράγωνο
Ξεκινώντας από αυτό το σημείο παραθέτω και εγώ την δικιά μου λύση για λόγους πλουραλισμού:Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Τετ Ιουν 13, 2018 12:27 amΗ δοσμένη εξίσωση γράφεται .ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ έγραψε: ↑Τρί Ιουν 12, 2018 11:34 pmAν θετικοί ακέραιοι,ώστε και ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές).
Είναι , με .
Αντικαθιστούμε και είναι .
Θέλουμε να δείξουμε ότι το είναι τέλειο τετράγωνο. Όμως, , αρκεί λοιπόν ο να είναι τέλειο τετράγωνο.
Έχουμε Άρα αρκεί να δέιξουμε ότι ο είναι τέλειο τετράγωνο.Η σχέση μας μπορεί να μετασχηματιστεί ως Έστω επίσης, τότε θα υπάρχει πρώτος ώστε όμως από την σχέση λαμβάνουμε ότι Άτοπο! αφού το 1 δεν είναι πρώτος άρα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες