Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Παντελής Μιντεκίδης · #41

Αγαπητοί Συνάδελφοι,

Παραθέτω και φέτος έναν σύνδεσμο όπου μπορείτε να βρείτε τις ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ των σημερινών θεμάτων αναλυτικώς γραμμένες.

Θερμούς χαιρετισμούς,

Παντελής Μιντεκίδης

https://www.scribd.com/document/3815531 ... dikes-2018

#42

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 11, 2018 8:09 pm

gavrilos έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 11, 2018 11:35 am
Καλημέρα και καλή επιτυχία στους υποψήφιους.

Η (μάλλον "λογική") απάντηση στο (δύσκολο) Δ4.

Η είναι κυρτή στο διάστημα $[2,+\infty)$ άρα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της στο .Η ευθεία αυτή έχει εξίσωση .

Συνεπώς $\int_{2}^{3} f(x)\sqrt{x-2}dx>\int_{2}^3 -2\sqrt{x-2}-2\sqrt{x-2}^3dx=-\frac{32}{15}$ .

Edit: Μία ακόμη λύση,με όχι σχολικά εργαλεία,θα μπορούσε να προκύψει με αλλαγή μεταβλητής $y=\sqrt{x-2}$ και χρήση της $e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}$ .
ΕΙΝΑΙ 'μη σχολική' η $e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}$ ; Δεν έχω ασχοληθεί 'επαγγελματικά' με Πανελλαδικές κλπ οπότε δεν είμαι σίγουρος, αλλά θα έλεγα ότι μπορούμε να θεωρήσουμε -- ακριβέστερα, θα μπορούσε ο κάθε εξεταζόμενος να θεωρήσει -- την $g(x)=e^x-1-x-\dfrac{x^2}{2}$ (για την οποία ισχύει , άρα αρκεί να δειχθεί η , δηλαδή η , που είτε θεωρείται γνωστή είτε αποδεικνύεται αναλόγως μέσω της για , κλπ κλπ)

!!! Ο φίλος μαθηματικός Άγις Ζαμάνης με πληροφορεί ότι η ανισότητα $e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}$ ΥΠΑΡΧΕΙ ως άσκηση -- Άσκηση 3, Ασκήσεις Β' Ομάδας, Παράγραφος 2.7 (Τοπικά Ακρότατα Συνάρτησης) -- στο Σχολικό Βιβλίο Γ' Λυκείου (Μαθηματικά Β' Μέρος, Έκδοση 2017) ... συνεπώς η λύση που ανέβασα χθες και αναφέρεται και παραπάνω ... ΕΙΝΑΙ σχολική.

Επιτροπή Θεμάτων 2023 · #43

Στην αρχική σελίδα ανέβηκε η 2η έκδοση των λύσεων των θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού 2018, η οποία είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών του mathematica.gr.

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #44

Στις λύσεις, η συνάρτηση $2e^{x-a}$ , χαρακτηρίζεται ως σύνθεση των 2e^x

και

. Η σύνθεση όμως των δύο αυτών συναρτήσεων είναι 2e^x -a

. Το σωστό είναι ότι είναι σύνθεση των x-a

και

.

#45

Μια λύση στο Δ1

$\displaystyle f\left( x \right)=2{{e}^{x-a}}-{{x}^{2}}$ $\displaystyle \Rightarrow {f}'\left( x \right)=2{{e}^{x-a}}-2x$
Αν $\displaystyle x<0\Rightarrow {f}'(x)>0$ στο $\displaystyle R$ , άρα η $\displaystyle f$ δεν έχει ακρότατα
Αν $\displaystyle x>0$ , τότε :
$\displaystyle {f}'\left( x \right)\ge 0\Leftrightarrow 2{{e}^{x-a}}-2x\ge 0\Leftrightarrow 2\left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{a}}}-x \right)\ge 0\Leftrightarrow \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{a}}}-x\ge 0\Leftrightarrow \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{a}}}\ge x\Leftrightarrow$
$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{a}}}\ge x\Leftrightarrow \frac{{{e}^{x}}}{x}\ge {{e}^{a}}\Leftrightarrow \frac{{{e}^{x}}}{x}-{{e}^{a}}\ge 0$
Έστω $\displaystyle k(x)=\frac{{{e}^{x}}}{x}-{{e}^{a}}$ .
Τότε $\displaystyle {k}'(x)=\frac{{{e}^{x}}(x-1)}{{{x}^{2}}}$ και $\displaystyle {k}'(x)\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1$
Ακόμα $\displaystyle \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,k(x)=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,k(x)=+\infty$
Άρα η $\displaystyle k$ παρουσιάζει ελάχιστο για $\displaystyle x=1$ , ίσο με $\displaystyle k(1)=e-{{e}^{a}}<0$ , αφού $\displaystyle a>1$
Επομένως η $\displaystyle k$ έχει δυο ακριβώς ρίζες .
Επειδή $\displaystyle {k}''(x)={{\left( \frac{{{e}^{x}}(x-1)}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{{{e}^{x}}({{x}^{2}}-2x+2)}{{{x}^{3}}}=\frac{{{e}^{x}}[{{(x-1)}^{2}}+1]}{{{x}^{3}}}>0$
έχουμε ότι η $\displaystyle {k}'$ είναι γνησίως αύξουσα άρα μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τα ακρότατα

nikolaos · #46

Θέμα Δ4

Μια λίγο διαφορετική προσέγγιση για το θέμα Δ4.

Θέτουμε $f(x)=2 e^{x-2} - x^2, x \in (2, 3)$ .
Από θ. μέσης τιμής $f(x) - f(2) = (x-2) f' (\xi), 2 < \xi <3$ (1)

Έχουμε $f'(x) = 2 e^{x-2} - 2x$ και $f''(x) = 2 e^{x-2} > 0$ ,
άρα η f'(x)

είναι αύξουσα στο (2, 3)

, άρα
$f'(\xi)>f'(2)=-2[=2 e^{0} - 4]$ , έπεται
$f'(\xi) (x-2) > -2 (x-2) = -2x + 4.$ (2)
Από (1), (2) f(x) - f(2) > -2(x-2)

.
Αλλά, $f(2) = -2 [=2 e^{0} - 4]$ , επομένως
f(x) > -2 - 2x + 4 = -2(x - 1)

, συνεπώς
$\int_{2}^{3} f(x) \sqrt{x-2} \, dx > -2 \int_{2}^{3} (x-1) \sqrt{x-2} dx = -2I$ , (3)
όπου $I = \int_{2}^{3} (x-1) \sqrt{x-2} \, dx$ . Θέτουμε t = x-2

, άρα

και

, οπότε $Ι= \int_{0}^{1} (t+1) \sqrt{t} \, dt=\int_{0}^{1} (t^{3/2}+t^{1/2}) \, dt = \left( \frac{2}{5} t^{5/2} + \frac{2}{3} t^{3/2} \right)_{0}^{1} = \frac{2}{5} + \frac{2}{3} = \frac{16}{15}$ και από την (3),
$\int_{2}^{3} ( 2e^{x-2} - x^{2} ) \sqrt{x-2} \, dx > -\frac{32}{15}$ .

paylos · #47

Theo21 έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 11, 2018 4:55 pm
Εγω ,πριν λιγες ωρες λοιπον, το Δ3 το ελυσα οπως ο οεφε
Δηλαδη φ φθινουσα στο (α,χ2)
Αρα φ 1-1 στο (α,χ2)
Αρα χ=1 , ομως το 1 δεν ανηκει στο (α,χ2) γιατι α>1

Ειναι λαθος;

Η λύση είναι ελλιπής. Έπρεπε επιπλέον να αποδείξεις ότι το χ1 είναι μικρότερο από το το 1 ώστε η λύση να θεωρηθεί πλήρης.

#48

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 11, 2018 11:31 am
Για το Δ4: ευθεία λύση (χωρίς χρήση των προηγηθέντων μερών) από την γνωστή (ή έστω εύκολα αποδεικνυόμενη) ανισότητα $e^u>1+u+\dfrac{u^2}{2}$ , αφού προηγηθεί ακριβής υπολογισμός του ολοκληρώματος $\int_{2}^{3}x^2\sqrt{x-2}dx=\dfrac{478}{105}$ : αρκεί να χρησιμοποιηθεί η προφανής αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα $\int_{2}^{3}e^{x-2}\sqrt{x-2}dx>\int_{0}^{1}(u^{.5}+u^{1.5}+.5u^{2.5})du=\dfrac{127}{105}$ . (Η ίδια αντικατάσταση και για το πρώτο ολοκλήρωμα.)

Όπως είδαμε ... ΥΠΑΡΧΕΙ η ανισότητα $e^u>1+u+\dfrac{u^2}{2}$ στο σχολικό βιβλίο Γ' Λυκείου ΩΣ ΑΣΚΗΣΗ, το ερώτημα (μου) είναι σε πόσα γραπτά πανελλαδικώς θα μπορούσε να εμφανισθεί η παραπάνω λύση: γύρω στα 20 θα ήταν η εκτίμηση μου, αλλά φίλοι προτείνουν να κρατήσω μόνο το ένα από τα δύο ψηφία

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #49

gbaloglou έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 15, 2018 9:52 am

Όπως είδαμε ... ΥΠΑΡΧΕΙ η ανισότητα $e^u>1+u+\dfrac{u^2}{2}$ στο σχολικό βιβλίο Γ' Λυκείου ΩΣ ΑΣΚΗΣΗ, το ερώτημα (μου) είναι σε πόσα γραπτά πανελλαδικώς θα μπορούσε να εμφανισθεί η παραπάνω λύση: γύρω στα 20 θα ήταν η εκτίμηση μου, αλλά φίλοι προτείνουν να κρατήσω μόνο το ένα από τα δύο ψηφία

και συγκεκριμένα το δεύτερο ψηφίο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #50

NIZ έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 15, 2018 11:25 am

gbaloglou έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 15, 2018 9:52 am

Όπως είδαμε ... ΥΠΑΡΧΕΙ η ανισότητα $e^u>1+u+\dfrac{u^2}{2}$ στο σχολικό βιβλίο Γ' Λυκείου ΩΣ ΑΣΚΗΣΗ, το ερώτημα (μου) είναι σε πόσα γραπτά πανελλαδικώς θα μπορούσε να εμφανισθεί η παραπάνω λύση: γύρω στα 20 θα ήταν η εκτίμηση μου, αλλά φίλοι προτείνουν να κρατήσω μόνο το ένα από τα δύο ψηφία

και συγκεκριμένα το δεύτερο ψηφίο.

Η δική μου αίσθηση είναι ότι θα χρειάζονται περισσότερα από ένα χέρια για να μετρηθούν.
Θεωρώ ότι όποιος γνωρίζει στοιχειώδη ανάλυση αυτή την λύση θα έκανε.
(στο forum βρίσκεται μαθητής που δίνει εξετάσεις και ξέρει αρκετή ανάλυση)
Ο λόγος είναι ότι αν δεν έφτανε ο δεύτερος όρος θα πήγαινε στον τρίτο κλπ.

Να σημειώσω ότι θεωρώντας την

$g(x)=e^{-x}(1+x+\frac{x^{2}}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!})$

με μία παραγώγιση βγαίνει

$e^{x}>1+x+\frac{x^{2}}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!},x>0$

που έχει συζητηθεί στο forum.

#51

ΑΝΕΠΙΤΥΧΗΣ προσπάθεια (σκιαγράφηση) για το Δ4 (στο πνεύμα των θεματοδοτών, αλλά επικεντρωμένη ... στον άλλο παράγοντα):

Επειδή η $g(x)=\sqrt{x-2}$ είναι κοίλη στο (2,3)

, βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της στο τυχόν σημείο (c, g(c))

, όπου

, και επειδή η $f(x)=2e^{x-2}-x^2$ είναι αρνητική στο (2, 3)

, το δοθέν ολοκλήρωμα καταλήγει να έχει ως κάτω φράγμα την συνάρτηση

$\phi (c)=\sqrt{c-2}e+\dfrac{181-100c}{24\sqrt{c-2}},$

η οποία έχει τοπικό μέγιστο στο $c\approx 2,5466$ , ίσο προς $\approx -2,14162<-\dfrac{32}{15}$

[Αν κάποιος εξεταζόμενος προσπαθούσε με την εφαπτομένη στο c=3

, όπου οι υπολογισμοί είναι πολύ απλούστεροι, θα έβγαζε $e-\dfrac{119}{24}\approx -2,24$ ...]

margk · #52

Μια ερώτηση για το Α2. Αν καποιος μαθητής γράψει οτι και το σχολικό βιβλίο δηλαδη η αναφερόμενη δίκλαδη συνάρτηση είναι
1-1 αλλά όχι γνησίως μονότονη είναι πληρης η απάντηση ή χρειάζεται και η απόδειξη των ισχυρισμών; Θέτω το ερώτημα γιατί
πρόκειται για ερώτημα θεωρίας (ΘΕΜΑ Α) οπου οι μαθητες εξετάζονται σε θέματα που υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο.

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #53

margk έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 16, 2018 2:42 pm
Μια ερώτηση για το Α2. Αν καποιος μαθητής γράψει οτι και το σχολικό βιβλίο δηλαδη η αναφερόμενη δίκλαδη συνάρτηση είναι
1-1 αλλά όχι γνησίως μονότονη είναι πληρης η απάντηση ή χρειάζεται και η απόδειξη των ισχυρισμών; Θέτω το ερώτημα γιατί
πρόκειται για ερώτημα θεωρίας (ΘΕΜΑ Α) οπου οι μαθητες εξετάζονται σε θέματα που υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο.

Επειδή και πέρσι υπήρξε ο ίδιος προβληματισμός για το αντίστοιχο ερώτημα - συνεχής>παραγωγίσιμη – και τελικά η απλή αναφορά του παραδείγματος του βιβλίου αρκούσε, νομίζω ότι και φέτος η αναφορά στο παράδειγμα του βιβλίου δεν χρειάζεται καμιά παραπάνω δικαιολόγηση. Δεν ξέρω όμως αν υπάρξει πρόβλημα με άλλα παραδείγματα που θα μπορούσε να φέρει κάποιος μαθητής.

margk · #54

Ευχαριστω για την απαντηση στο προηγουμενο ερωτημα για το Α2.
Τωρα σε οτι αφορα το Δ3 μια απαντηση σαν αυτη της ΟΕΦΕ παιρνει καποιες απο τις 6 μοναδες αν θεωρησουμε οτι γινεται σωστη με την προσθηκη οτι x1<1

;

Alexis14 · #55

NIZ έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 16, 2018 5:06 pm

margk έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 16, 2018 2:42 pm
Μια ερώτηση για το Α2. Αν καποιος μαθητής γράψει οτι και το σχολικό βιβλίο δηλαδη η αναφερόμενη δίκλαδη συνάρτηση είναι
1-1 αλλά όχι γνησίως μονότονη είναι πληρης η απάντηση ή χρειάζεται και η απόδειξη των ισχυρισμών; Θέτω το ερώτημα γιατί
πρόκειται για ερώτημα θεωρίας (ΘΕΜΑ Α) οπου οι μαθητες εξετάζονται σε θέματα που υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο.
Επειδή και πέρσι υπήρξε ο ίδιος προβληματισμός για το αντίστοιχο ερώτημα - συνεχής>παραγωγίσιμη – και τελικά η απλή αναφορά του παραδείγματος του βιβλίου αρκούσε, νομίζω ότι και φέτος η αναφορά στο παράδειγμα του βιβλίου δεν χρειάζεται καμιά παραπάνω δικαιολόγηση. Δεν ξέρω όμως αν υπάρξει πρόβλημα με άλλα παραδείγματα που θα μπορούσε να φέρει κάποιος μαθητής.

Προσοχή ήθελε και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης του αντιπαραδείγματος, που έπρεπε να είναι το R. Δηλαδή, όποιος μαθητής παρουσίασε ένα δικό του αντιπαράδειγμα με 1-1, αλλά όχι μονότονη συνάρτηση, που όμως δεν είχε πεδίο ορισμού το R, θα έχασε κάτι λίγο στα μόρια.

#56

NIZ έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 15, 2018 11:25 am

gbaloglou έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 15, 2018 9:52 am

Όπως είδαμε ... ΥΠΑΡΧΕΙ η ανισότητα $e^u>1+u+\dfrac{u^2}{2}$ στο σχολικό βιβλίο Γ' Λυκείου ΩΣ ΑΣΚΗΣΗ, το ερώτημα (μου) είναι σε πόσα γραπτά πανελλαδικώς θα μπορούσε να εμφανισθεί η παραπάνω λύση: γύρω στα 20 θα ήταν η εκτίμηση μου, αλλά φίλοι προτείνουν να κρατήσω μόνο το ένα από τα δύο ψηφία

και συγκεκριμένα το δεύτερο ψηφίο.

Έχουμε ήδη συγκεκριμένη πληροφορία (ΦΒ) για τέτοια λύση στο 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης, και φήμες για περισσότερες.

Τσιαλας Νικολαος · #57

Αφού ο μικρός Νικόλας βρήκε χρόνο να γράψει την λύση για το Γ την ανεβάζω..

$E_t=\dfrac{x^2}{16}$

$2\pi p=8-x\Rightarrow \boxed{p=\dfrac{8-x}{2\pi}}$

$E_k=\pi\cdot{\left ( \dfrac{8-x}{2\pi} \right )}^2\Rightarrow E_k=\dfrac{{(8-x)}^2}{4\pi}$

$E_{(x)}=\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{{(8-x)^2}}{4\pi}=\dfrac{\pi{x^2}+4(64-16x+x^2)}{16\pi}=\dfrac{\pi{x^2}+256-64x+4x^2}{16\pi}=\dfrac{(\pi{+4})x^2-64x+256}{16\pi}$

Γ2

$E_{(x)}=\dfrac{(\pi{+4})x^2-64x+256}{16\pi} \Rightarrow E_{(x)}=\dfrac{\pi+4}{16\pi}\cdot x^2 -\dfrac{4}{\pi}\cdot x +\dfrac{16}{\pi}$

Είναι τριώνυμο 2ου βαθμού και επομένως παίρνει την ελάχιστη τιμή $x=\dfrac{-\beta}{2a}$

$x=-\dfrac{\dfrac{-4}{\pi}}{2\dfrac{\pi+4}{16\pi}}\Rightarrow x=\dfrac{32}{\pi+4}$

Άρα $\dfrac{x}{4}=\dfrac{8}{\pi+4}$ , όπου $\dfrac{x}{4}$ η πλευρά του τετραγώνου και $p=\dfrac{8-x}{2\pi}\Rightarrow p=\dfrac{8-\dfrac{32}{\pi+4}}{2\pi}=\dfrac{4}{\pi+4}$

Άρα $\delta=\dfrac{8}{\pi+4}$

Γ3

$E_{(x)}=5\Rightarrow \dfrac{(\pi+4)x^2-64x+256}{16\pi}=5$
$(\pi+4)x^2-64x+256-80\pi=0\Rightarrow \Delta=64\pi(5\pi+4)$

$x_{1,2}=\dfrac{64 \pm \sqrt{64\pi(5\pi+4)}}{2(\pi+4)}\Rightarrow x_{1,2}=\dfrac{32\pm4\sqrt{\pi(5\pi+4)}}{\pi+4}$

Έχω $\dfrac{32+4\sqrt{\pi(5\pi+4)}}{\pi+4}>8\Leftrightarrow\sqrt{\pi(5\pi+4)}>2\pi\Leftrightarrow\pi^2+4\pi>0$ Ισχύει

Άρα η x_1

απορρίπτεται

Επίσης $\dfrac{32-4\sqrt{\pi(5\pi+4)}}{\pi+4}>0 \Leftrightarrow \pi(5\pi+4)<64$ ισχύει αφού

$\pi<3,2\Rightarrow 5\pi<16\Rightarrow 5\pi+4<20$ τότε $(5\pi+4<20)(\pi<3,2)=\pi(5\pi+4)<64$

Επίσης $\dfrac{32-4\sqrt{\pi(5\pi+4)}}{\pi+4}<8\Leftrightarrow 32-4\sqrt{\pi(5\pi+4)}<8\pi+32\Leftrightarrow -4\swrt{\pi(5\pi+4)}<8\pi$ ΙΣΧΥΕΙ

Υ.Γ.1: Την λύση την έκαναν 1 μαθητής της Α΄ γυμνασίου, 'ενας της Γ΄ γυμνασίου και 2 μαθήτριες της Α΄ λυκείου μεσα σε 20 λεπτά.

drakpap · #58

Σύμφωνα με παραπάνω την λύση στο γ θέμα την έκαναν ένα παιδί α γυμνασίου και ένα παιδί γ γυμνασίου σε 20 λεπτά. Και ρωτάω εγώ πως γνωρίζει ένα παιδί α γυμνασίου τριώνυμο και πως ένα παιδί γ γυμνασίου ότι το τριώνυμο έχει ελάχιστο αφού σύμφωνα με την ύλη του υπουργείου είναι εκτός η μελέτη του. Μήπως τα παραλέμε λίγο...

Τσιαλας Νικολαος · #59

Τα παιδιά προχωράνε πιο μπροστά..έτσι γίνεται πανελληνίως χρόνια τώρα για αυτά που "τραβάνε". Οπότε δεν παραλέμε τίποτα..

Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Μέλη σε σύνδεση