Απειροσειρά

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί η σειρά:

$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \left ( 2 \sin^4 \frac{\pi}{2^n} - 6 \cos^2 \frac{\pi}{2^n} \sin^2 \frac{\pi}{2^n} \right )}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Ιουν 16, 2018 4:30 pm Να υπολογιστεί η σειρά:

$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \left ( 2 \sin^4 \frac{\pi}{2^n} - 6 \cos^2 \frac{\pi}{2^n} \sin^2 \frac{\pi}{2^n} \right )}$

O γενικός όρος είναι της μορφής

$\displaystyle{2 \sin^4 a - 6 \cos^2 a \sin^2 a= 2 \sin^2 a(\sin^2 a - 3 \cos^2 a ) = 2 \sin^2 a(4\sin^2 a - 3 ) =$

$\displaystyle{ =2 \sin a(4\sin^3 a - 3\sin a ) = - 2 \sin a \sin3 a= \cos (a+3a)-\cos (a-3a)= \cos 4a-\cos 2a$ .

Έτσι (γενικότερα) έχουμε τηλεσκοπικά

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{N} \left ( 2 \sin^4 \frac{\pi}{2^n} - 6 \cos^2 \frac{\pi}{2^n} \sin^2 \frac{\pi}{2^n} \right )=\sum_{n=1}^{N} \left ( \cos \frac {4\pi}{2^n} - \cos \frac{2\pi}{2^n} \right )= \cos 2\pi - \cos \frac{\pi}{2^{N-1}}= 1- \cos \frac{\pi}{2^{N-1}}$

Στο όριο τείνει στο 1-1=0

.

Απειροσειρά

Απειροσειρά

Re: Απειροσειρά

Μέλη σε σύνδεση