Μέγιστο γινόμενο 9

KARKAR · #1

: Μέγιστο γινόμενο.png (9.79 KiB) Προβλήθηκε 678 φορές

Σε κύκλο

θεωρήσαμε χορδή $AB=2\ell<2r$ . Σημείο

κινείται στον κύκλο .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $SA\cdot SB$ . Κυνηγήστε την "άλλη" λύση ...

nikkru · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 19, 2018 9:15 pm
Μέγιστο γινόμενο.pngΣε κύκλο θεωρήσαμε χορδή $AB=2\ell<2r$ . Σημείο κινείται στον κύκλο .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $SA\cdot SB$ . Κυνηγήστε την "άλλη" λύση ...

$\displaystyle max SA\cdot SB=\frac{\ell ^2 \cdot r}{2r+ \sqrt{4r^2-\ell ^2}}$

Αύριο η πλήρης αιτιολόγηση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 19, 2018 9:15 pm
Μέγιστο γινόμενο.pngΣε κύκλο θεωρήσαμε χορδή $AB=2\ell<2r$ . Σημείο κινείται στον κύκλο .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $SA\cdot SB$ . Κυνηγήστε την "άλλη" λύση ...

Αν θέσουμε $\phi =\angle ASB$

τότε $(ABS)=\frac{1}{2}SA.SB.\sin \phi$

Αλλά το $\sin \phi$ είναι σταθερό.

Ετσι το SA.SB

γίνεται μέγιστο όταν το (ABS)

γίνει μέγιστο.

Είναι σχεδόν προφανές ότι αυτό επιτυγχάνεται όταν

είναι το μέσο του μεγάλου τόξου

Τότε είναι $SA.SB=SA^{2}=l^{2}+(r+\sqrt{r^{2}-l^{2}})^{2}=2r^{2}+2r\sqrt{r^{2}-l^{2}}$

Δεν γνωρίζω αν αυτή είναι η άλλη λύση.Θα το μάθουμε αύριο.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 19, 2018 9:15 pm
Μέγιστο γινόμενο.pngΣε κύκλο θεωρήσαμε χορδή $AB=2\ell<2r$ . Σημείο κινείται στον κύκλο .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $SA\cdot SB$ . Κυνηγήστε την "άλλη" λύση ...

: Μέγιστο γινόμενο 9.png (11.64 KiB) Προβλήθηκε 605 φορές

$\displaystyle SA \cdot SB = 2r \cdot SM$ και μεγιστοποιείται όταν γίνει μέγιστο το ύψος SM,

δηλαδή όταν διέρχεται από το κέντρο

του κύκλου και το

βρίσκεται στο μείζον τόξο AB.

Άρα: $\boxed{{(SA \cdot SB)_{\max }} = 2r\left( {r + \sqrt {{r^2} - {l^2}} } \right)}$

#5

Καλημέρα σε όλους. Τα "καλά" εργαλεία έχουν χρησιμοποιηθεί. Θα πορευτούμε με ότι απέμεινε και μάλιστα χωρίς να πειράξουμε το σχήμα του Θανάση....

: Μέγιστο γινόμενο.png (9.79 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές

Νόμος Συνημιτόνων στο

$\displaystyle A{B^2} = S{A^2} + S{B^2} - 2SA \cdot SB\sigma \upsilon \nu \varphi \Leftrightarrow S{A^2} + S{B^2} = 4{l^2} + 2SA \cdot SB\sigma \upsilon \nu \varphi$

Είναι $\displaystyle S{A^2} + S{B^2} \ge 2SA \cdot SB \Leftrightarrow 4{l^2} + 2SA \cdot SB\sigma \upsilon \nu \varphi \ge 2SA \cdot SB$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{2{l^2}}}{{1 - \sigma \upsilon \nu \varphi }} \ge SA \cdot SB$ με το ίσον όταν SA = SB

.

Τώρα, για να φέρουμε την απάντηση στη μορφή των ήδη δοσμένων λύσεων:

Νόμος Hμιτόνων στο

$\displaystyle \frac{{AB}}{{\eta \mu \varphi }} = 2r \Leftrightarrow \eta \mu \varphi = \frac{l}{r}$

Eίναι $\displaystyle \eta \mu \varphi = \frac{l}{r} \Leftrightarrow \eta {\mu ^2}\varphi = \frac{{{l^2}}}{{{r^2}}} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi = \sqrt {\frac{{{r^2} - {l^2}}}{{{r^2}}}} \Leftrightarrow 1 - \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{{r - \sqrt {{r^2} - {l^2}} }}{r}$ , με $\displaystyle 0^\circ < \varphi < 90^\circ$ .

Οπότε $\displaystyle \frac{{2r{l^2}}}{{r - \sqrt {{r^2} - {l^2}} }} \ge SA \cdot SB \Leftrightarrow 2r\left( {r + \sqrt {{r^2} - {l^2}} } \right) \ge SA \cdot SB$ .

nikkru · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 19, 2018 9:15 pm
Μέγιστο γινόμενο.pngΣε κύκλο θεωρήσαμε χορδή $AB=2\ell<2r$ . Σημείο κινείται στον κύκλο .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $SA\cdot SB$ . Κυνηγήστε την "άλλη" λύση ...

Η λύση που είχα ήταν ίδια με του Σταύρου με το

στο κυρτό τόξο

. Θα δώσω μία με λίγη τριγωνομετρία.

: Μέγιστο γινόμενο 9.png (14.99 KiB) Προβλήθηκε 567 φορές

Είναι $(ABS)=\frac{SA \cdot SB \cdot sin\omega }{2}= \frac{AB \cdot CH}{2}\Rightarrow SA \cdot SB=\frac{AB \cdot h}{sin\omega }$ .

Η γωνία $\omega$ είναι παραπληρωματική της $\theta$ (από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ACBS

) άρα σταθερή.

Φέρνοντας την εφαπτομένη στο μέσο

του τόξου

είναι προφανές ότι το

μεγιστοποιείται όταν το

είναι μέσο του τόξου

.

Αφού $SA=SB=2r \cdot sin \frac{\theta}{2}$ είναι $SA \cdot SB=4r^2 \left ( sin\frac{\theta}{2}\right )^2$ και $cos \theta=\frac{\sqrt{r^2 - \ell ^2}}{r}$ .

Αν το

ανήκει στο κυρτογώνιο τόξο

είναι $\omega +\theta =180^o$ διαφορετικά είναι $\omega =\theta$ .

Τελικά, $SA \cdot SB=4r^2 \frac{1-cos\theta }{2}= 4r^2 \cdot \frac{ \left ( r \pm \sqrt{r^2 - \ell ^2} \right ) }{2r}=2r \left( r \pm \sqrt{r^2-\ell^2} \right)$

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 19, 2018 9:15 pm
Μέγιστο γινόμενο.pngΣε κύκλο θεωρήσαμε χορδή $AB=2\ell<2r$ . Σημείο κινείται στον κύκλο .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $SA\cdot SB$ . Κυνηγήστε την "άλλη" λύση ...

: μέγιστο γινόμενο χορδών_ με σταθερή βάση_3.png (24.18 KiB) Προβλήθηκε 563 φορές

Στην προέκταση π. χ. της

προς το

θεωρώ σημείο

για το οποίο SA = SE

.

Γράφω ημικύκλιο διαμέτρου

και τη κάθετη στο

επί την

που τέμνει αυτό το ημικύκλιο στο

.

Έτσι θα έχω : $SA \cdot SB = SE \cdot SB = S{D^2}$ . Όταν το

ταυτιστεί με το μέσο

του

μεγάλου τόξου χορδής

θα προκύψει το μέγιστο

και είναι

.

Αυτό γιατί , $EB \leqslant PE + PB$ που στην περίπτωση που τα E,P,B

ανήκουν στην ίδια

ευθεία $\boxed{SD \equiv PD = \frac{{EB}}{2}}$ . Εύκολα μετά .

$\boxed{S{D^2} = P{B^2} = PT \cdot PM = 2r(PO + OM) = 2r\left( {r + \sqrt {{r^2} - {l^2}} } \right)}$

#8

Φέρνω τη διχοτόμο

του τριγώνου SAB

. Έστω ακόμα $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ τα μέσα του

μεγάλου και του μικρού τόξου χορδής

. Τέλος θεωρώ από το

παράλληλη

Που τέμνει τη

στο

. Επειδή ,

$S{D^2} = SA \cdot SB - DA \cdot DB \Leftrightarrow \boxed{SA \cdot SB = S{D^2} + DA \cdot DB}$ αρκεί να βρω πότε

μεγιστοποιείται το δεύτερο μέλος.

: Μέγιστο γινόμενο 9_οκ.png (20.08 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές

Αφού

σταθερό , το γινόμενο $DA \cdot DB$ γίνεται μέγιστο αν $\boxed{DA = DB}$ .

Επειδή όμως προφανώς $SD \leqslant DE \leqslant MP$ , όταν ισχύει η ισότητα DA = DB

το

θα

Ταυτιστεί με το

και το

με το

. Συνεπώς τότε θα προκύψει το μέγιστο του γινομένου $SA \cdot SB$

Μέγιστο γινόμενο 9

Μέγιστο γινόμενο 9

Re: Μέγιστο γινόμενο 9

Re: Μέγιστο γινόμενο 9

Re: Μέγιστο γινόμενο 9

Re: Μέγιστο γινόμενο 9

Re: Μέγιστο γινόμενο 9

Re: Μέγιστο γινόμενο 9

Re: Μέγιστο γινόμενο 9

Μέλη σε σύνδεση