Σύγκλιση σειράς 110

#1

Για τις διάφορες τιμές του θετικού πραγματικού $\alpha$ , να εξετασθεί η σύγκλιση της σειράς

$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\frac{\log{n}}{n^{\alpha}}\,.$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

grigkost έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 20, 2018 10:44 am
Για τις διάφορες τιμές του θετικού πραγματικού $\alpha$ , να εξετασθεί η σύγκλιση της σειράς

$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\frac{\log{n}}{n^{\alpha}}\,.$

Θα δείξουμε ότι η σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν a>1.

Πράγματι, για $0<a\leq 1$ έχουμε ότι ''τελικά'' $\frac{\log{n}}{n^a}\geq \frac{1}{n}$

και η απόκλιση της σειρά μας προκύπτει από την απόκλιση της αρμονικής σειράς.

Για a>1

η ακολουθία $\frac{\log{n}}{n^a}$ είναι ''τελικά'' γνησίως φθίνουσα. Πράγματι η συνάρτηση $f(x)=\frac{\log x}{x^a}$

έχει παράγωγο ${f}'(x)=\frac{1-a \log x}{x^{a+1}}$ και για $x>e^{\frac{1}{a}}$ ισχύει {f}'(x)<0.

Επίσης, για

θετικό ακέραιο ισχύει

$\int_{n}^{t}\frac{\log x}{x^a}dx= \int_{n}^{t}\log x{\left ( \frac{x^{1-a}}{1-a} \right )}'dx= \frac{1}{1-a}\left ( \frac{\log t}{t^{a-1}}-\frac{\log n}{n^{a-1}}\right )-\frac{1}{(1-a)^2} \left ( \frac{1}{t^{a-1}}-\frac{1}{n^{a-1}} \right ).$

Για $t\rightarrow +\infty$ παίρνουμε $\int_{n}^{+\infty }\frac{\log x}{x^a}dx= -\frac{1}{1-a}\frac{\log n}{n^{a-1}} +\frac{1}{(1-a)^2}\frac{1}{n^{a-1}}.$

Από το κριτήριο του ολοκληρώματος προκύπτει ότι η σειρά μας συγκλίνει για a>1.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Για

είναι

$\ln n=\ln (n^{b})^{\frac{1}{b}}=\frac{1}{b}\ln (n^{b})< \frac{1}{b}(n^{b})$

Για a>1

και $b=\frac{a-1}{2}>0$

έχουμε

$0\leq \dfrac{\ln n}{n^{a}}< \frac{1}{b}\frac{n^{b}}{n^{a}}=\frac{1}{b}\frac{1}{n^{a-b}}=\frac{1}{b}\dfrac{1}{n^{\frac{a+1}{2}}}$

με $\frac{1+a}{2}>1$

Αρα για a>1

η σειρά συγκλίνει.

#4

Η σειρά είναι γνωστή, την έδωσα για να δοθούν διαφορετικές προσεγγίσεις. Ακόμα μία:

Για την σύγκλιση της σειράς

$\begin{aligned} \mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}2^{n-1}\frac{\log\big(2^{n-1}\big)}{(2^{n-1})^{\alpha}}&=\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\frac{(n-1)\log2}{2^{(\alpha-1)(n-1)}}=\log2\mathop{\sum}\limits_{{n}=0}^{\infty}\frac{n}{2^{(\alpha-1)n}}\,, \end{aligned}$
προκύπτουν

$\begin{aligned} \mathop{\lim}\limits_{n\to +\infty}\frac{\frac{n+1}{2^{(\alpha-1))(n+1)}}}{\frac{n}{2^{(\alpha-1)n}}}&=2^{1-\alpha}\mathop{\lim}\limits_{n\to +\infty}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)=2^{1-\alpha}\,. \end{aligned}$
Για $\alpha>1\quad\Rightarrow\quad2^{1-\alpha}<1$ , ενώ για $\alpha<1\quad\Rightarrow\quad2^{1-\alpha}>1$ . Από το κριτήριο D' Alembert προκύπτει ότι η σειρά $\sum_{{n}=0}^{\infty}\frac{n}{2^{(\alpha-1)n}}$ συγκλίνει για $\alpha>1$ , ενώ απειρίζεται για $\alpha<1$ . Τετριμμένα η ίδια σειρά απειρίζεται για $\alpha=1$ . Αλλά τότε, από κριτήριο συμπύκνωσης, τό ίδιο κάνει και η σειρά $\sum_{{n}=1}^{\infty}\frac{\log{n}}{n^{\alpha}}$ .

#5

grigkost έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 20, 2018 10:44 am
Για τις διάφορες τιμές του θετικού πραγματικού $\alpha$ , να εξετασθεί η σύγκλιση της σειράς

$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\frac{\log{n}}{n^{\alpha}}\,.$

Η απόκλιση για $a\le 1$ είναι άμεση (π.χ. με χρήση της $\ln n \ge 1$ ). Για σύγκλιση αν a>1

έχουμε:

Είναι γνωστό και απλό ότι για οποιοδήποτε b>0

είναι τελικά $\ln n < n^b$ . Ένας τρόπος να το δούμε (που λέει και πολλά
περισσότερα) είναι από το $\dfrac {\ln x}{x^b}\to 0$ καθώς $x\to \infty$ (π.χ. με l' Hospital). Έτσι για θετικό

με

έχουμε

$\displaystyle{ \frac{\log{n}}{n^{a}} = \frac{\log{n}}{n^{b}}\frac{1}{n^{a-b}} \le \frac{1}{n^{a-b}}}$ , και λοιπά.

Σύγκλιση σειράς 110

Σύγκλιση σειράς 110

Re: Σύγκλιση σειράς 110

Re: Σύγκλιση σειράς 110

Re: Σύγκλιση σειράς 110

Re: Σύγκλιση σειράς 110

Μέλη σε σύνδεση