Συναρτησιακή και 1-1

pito · #1

Μια συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ έχει την ιδιότητα f(xf(y)+x)=xy+f(x)

για κάθε $x,y\epsilon R$ . Να δείξετε ότι
α) η

είναι

.
β)

και

γ)

για κάθε

πραγματικό ή f(x)=-x

για κάθε

πραγματικό.

Από το βιβλίο "Μαθηματικά Γ1, Γ λυκείου", των κ.Στεργίου, Νάκη.

mikemoke · #2

pito έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 01, 2018 9:17 pm
Μια συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ έχει την ιδιότητα για κάθε $x,y\epsilon R$ . Να δείξετε ότι
α) η είναι .
β) και
γ) για κάθε πραγματικό ή για κάθε πραγματικό.

Από το βιβλίο "Μαθηματικά Γ1, Γ λυκείου", των κ.Στεργίου, Νάκη.

1),2)Έστω $x_1,x_2\in\mathbb{R}:x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)=f(x_2)$

$x=x_1 , y=x_2 \Rightarrow f(x_1f(x_2)+x_1)=x_1x_2+f(x_1)\Rightarrow f(x_1f(x_1)+x_1)=x_1x_2+f(x_1)$

$x=x_1=y\Rightarrow f(x_1f(x_1)+x_1)=x_1^2+f(x_1)$

Tότε $x_1x_2+f(x_1)=x_1^2+f(x-1)\Rightarrow x_1(x_2-x_1)=0\Rightarrow x_1=0\vee x_1=x_2$
Αν x_1=x_2

ΑTOΠΟ .Άρα f 1-1

Aν x_1=0

τότε $x_2\neq 0$ και f(x_2)=f(0)

Έστω $y_0: f(y_0)=0 \Rightarrow f(x)=xy_0+f(x)\forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow xy_0=0\forall x\neq 0\Rightarrow y_0=0\Rightarrow f(0)=0$
$y=x_2\Rightarrow f(xf(x_2)+x)=xx_2+f(x)\Rightarrow f(xf(0)+x)=xx_2+f(x)\Rightarrow xx_2=0\forall x\neq 0\Rightarrow x_2=0=x_1$
ΑΤΟΠΟ
Άρα f 1-1.

3) $y=f^{-1}(-1)\Rightarrow f(-x+x)=xf^{-1}(-1)+f(x)\Rightarrow f(x)=-f^{-1}(-1)x$
Θέτω $-f^{-1}(-1)=a$
Άρα $f(x)=ax \forall x \inR$

Με αντικατάσταση προκύπτει a^2=1

και τα υπόλοιπα έπονται...

#3

Υπάρχουν περιττά δεδομένα στην άσκηση. Αρκεί το $\displaystyle{f(\mathbb{R})=\mathbb{R}.}$

Υπάρχει $\displaystyle{a\in \mathbb{R},}$ ώστε $\displaystyle{f(a)=-1.}$ Θέτοντας $\displaystyle{y\to a,}$ προκύπτει

$\displaystyle{f(0)=ax+f(x),}$ δηλαδή $\displaystyle{f(x)=ax+b,~~a,b\in \mathbb{R}.}$

Με αντικατάσταση στη συναρτησιακή σχέση έχουμε

$\displaystyle{a^2xy+abx+ax+b=xy+ax+b~~\forall x,y\in \mathbb{R}.}$

Άρα $\displaystyle{a^2=1~\wedge ab=0.}$ Επομένως $\displaystyle{a=\pm 1,b=0.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Μπορούμε να βρούμε και το

.

Θέτοντας x=1

παίρνουμε

Αυτή μας δίνει άμεσα ότι είναι 1-1 και $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$

Επίσης είναι a=f(-1-f(1))+1

Συναρτησιακή και 1-1

Συναρτησιακή και 1-1

Re: Συναρτησιακή και 1-1

Re: Συναρτησιακή και 1-1

Re: Συναρτησιακή και 1-1

Μέλη σε σύνδεση