IMO 2018
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: IMO 2018
Εύχομαι από καρδιάς καλή επιτυχία στους Έλληνες διαγωνιζόμενους, αλλά και στους Κύπριους αδελφούς μας διαγωνιζόμενους.
Καλή επάνοδο στην Ελλάδα μας και στην Κύπρο.
Καλή επάνοδο στην Ελλάδα μας και στην Κύπρο.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: IMO 2018
Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά της Ελλάδος και της Κύπρου και ιδιαίτερα στους 2 Δημητράκηδες!!!
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMO 2018
Πρόβλημα 1
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία και βρίσκονται στα τμήματα και αντίστοιχα ώστε . Οι μεσοκάθετες των και τέμνουν τα μικρά τόξα και του στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες και είτε είναι παράλληλες είτε είναι οι ταυτόσημες.
Πρόβλημα 2
Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί οι οποίοι ικανοποιούν
,
και
για .
Πρόβλημα 3
Ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ είναι μια τριγωνική διάταξη αριθμών έτσι ώστε εκτός από τους αριθμούς της τελευταίας σειράς, κάθε αριθμός είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο αριθμών που βρίσκονται αμέσως από κάτω του. Π.χ. το πιο κάτω είναι ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ με τέσσερις σειρές που περιέχει κάθε αριθμό από το ως το .
Υπάρχει τρίγωνο αντι-Πασκάλ με σειρές το οποίο να περιέχει κάθε ακέραιο από το ως το ;
Πρόβλημα 4
Ένα κελί, είναι ένα σημείο του επιπέδου ώστε τα και να είναι και τα δύο θετικοί ακέραιοι μικρότεροι ή ίσοι του .
Αρχικά υπάρχουν κενά κελιά. Ο Αντρέας και ο Βασίλης τοποθετούν εναλλάξ πέτρες στα κελιά με τον Αντρέα να αρχίζει πρώτος. Σε κάθε του κίνηση, ο Αντρέας τοποθετεί μια κόκκινη πέτρα σε ένα κενό κελί με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε δυο κελιά με κόκκινες πέτρες να μην έχουν απόσταση ίση με . Σε κάθε του κίνηση, ο Βασίλης τοποθετεί μια μπλε πέτρα σε ένα κενό κελί. (Ο Βασίλης επιτρέπεται να τοποθετήσει πέτρα σε οποιαδήποτε απόσταση από άλλη πέτρα θέλει.) Σταματούν όταν ένας εκ των δύο δεν μπορεί να τοποθετήσει άλλη πέτρα.
Να βρεθεί το μέγιστο ώστε ο Αντρέας να μπορεί σίγουρα να τοποθετήσει κόκκινες πέτρες, άσχετα με το πως τοποθετεί τις πέτρες του ο Βασίλης.
Πρόβλημα 5
Δίνεται μια άπειρη ακολουθία θετικών ακεραίων. Έστω ότι υπάρχει ακέραιος ώστε για κάθε , ο αριθμός
να είναι ακέραιος. Να δειχθεί ότι υπάρχει θετικός ακέραιος έτσι ώστε για κάθε .
Πρόβλημα 6
Ένα κυρτό τετράπλευρο ικανοποιεί = . Σημείο στο εσωτερικό του είναι τέτοιο ώστε και .
Να δειχθεί ότι .
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία και βρίσκονται στα τμήματα και αντίστοιχα ώστε . Οι μεσοκάθετες των και τέμνουν τα μικρά τόξα και του στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες και είτε είναι παράλληλες είτε είναι οι ταυτόσημες.
Πρόβλημα 2
Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί οι οποίοι ικανοποιούν
,
και
για .
Πρόβλημα 3
Ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ είναι μια τριγωνική διάταξη αριθμών έτσι ώστε εκτός από τους αριθμούς της τελευταίας σειράς, κάθε αριθμός είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο αριθμών που βρίσκονται αμέσως από κάτω του. Π.χ. το πιο κάτω είναι ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ με τέσσερις σειρές που περιέχει κάθε αριθμό από το ως το .
Υπάρχει τρίγωνο αντι-Πασκάλ με σειρές το οποίο να περιέχει κάθε ακέραιο από το ως το ;
Πρόβλημα 4
Ένα κελί, είναι ένα σημείο του επιπέδου ώστε τα και να είναι και τα δύο θετικοί ακέραιοι μικρότεροι ή ίσοι του .
Αρχικά υπάρχουν κενά κελιά. Ο Αντρέας και ο Βασίλης τοποθετούν εναλλάξ πέτρες στα κελιά με τον Αντρέα να αρχίζει πρώτος. Σε κάθε του κίνηση, ο Αντρέας τοποθετεί μια κόκκινη πέτρα σε ένα κενό κελί με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε δυο κελιά με κόκκινες πέτρες να μην έχουν απόσταση ίση με . Σε κάθε του κίνηση, ο Βασίλης τοποθετεί μια μπλε πέτρα σε ένα κενό κελί. (Ο Βασίλης επιτρέπεται να τοποθετήσει πέτρα σε οποιαδήποτε απόσταση από άλλη πέτρα θέλει.) Σταματούν όταν ένας εκ των δύο δεν μπορεί να τοποθετήσει άλλη πέτρα.
Να βρεθεί το μέγιστο ώστε ο Αντρέας να μπορεί σίγουρα να τοποθετήσει κόκκινες πέτρες, άσχετα με το πως τοποθετεί τις πέτρες του ο Βασίλης.
Πρόβλημα 5
Δίνεται μια άπειρη ακολουθία θετικών ακεραίων. Έστω ότι υπάρχει ακέραιος ώστε για κάθε , ο αριθμός
να είναι ακέραιος. Να δειχθεί ότι υπάρχει θετικός ακέραιος έτσι ώστε για κάθε .
Πρόβλημα 6
Ένα κυρτό τετράπλευρο ικανοποιεί = . Σημείο στο εσωτερικό του είναι τέτοιο ώστε και .
Να δειχθεί ότι .
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: IMO 2018
Έστω ότι οι δύο μεσοκάθετοι τέμνονται στο και . Έστω το έκκεντρο του τριγώνου . Τότε, προφανώς έχουμε . Έστω . Τότε, το είναι εγγράψιμο, οπότε , και όμοια . Άρα, αν , έχουμε , ό.έ.δ.Demetres έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 09, 2018 2:25 pmΠρόβλημα 1
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία και βρίσκονται στα τμήματα και αντίστοιχα ώστε . Οι μεσοκάθετες των και τέμνουν τα μικρά τόξα και του στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες και είτε είναι παράλληλες είτε είναι οι ταυτόσημες.
(Προφανώς, όταν , οι ευθείες ταυτίζονται).
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: IMO 2018
Έχουμε άρα για κάθε .
Άρα, Επίσης, etc, so , όπου . Από AM-GM, και εφαρμόζοντας την, έχουμε ισότητα, άρα .
Αν τώρα δεν είναι , έχουμε δύο περιπτώσεις. Αν : άρα τελικά όλα τα είναι ίσα, οπότε , άτοπο.
Όμοια, είναι άτοπο, άρα , και μπορούμε εύκολα να κάνουμε μία κατασκευή, π.χ. φορές.
Άρα η είναι η μόνη λύση στο πρόβλημα.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMO 2018
Ωραίο!
Για πολλαπλάσιο του γίνεται αν πάρουμε την ακολουθία . Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι .
Παρατηρούμε ότι για κάθε . (Όπου .)
Άρα
Από την ανισότητα της αναδιάταξης είναι για κάθε . Επειδή , παίρνουμε . Έστω . Τότε . Αλλά , άτοπο.
Ισχύει λοιπόν αν και μόνο αν .
Δεν πρόσεξα ότι απάντησε ο Ορέστης με ουσιαστικά την ίδια λύση.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: IMO 2018
Μια διαφορετική λύση από αυτή του Ορέστη, η οποία είναι λίγο πιο "άκομψη".Demetres έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 09, 2018 2:25 pmΠρόβλημα 1
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία και βρίσκονται στα τμήματα και αντίστοιχα ώστε . Οι μεσοκάθετες των και τέμνουν τα μικρά τόξα και του στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες και είτε είναι παράλληλες είτε είναι οι ταυτόσημες.
Δεν αναλύω τις τετριμμένες περιπτώσεις που ένα από τα ταυτίζεται με τα αντίστοιχα.
Έστω πως η τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του σε σημείο .
Παρατηρούμε πως .
Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές, με .
Όμοια αν η τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο , τότε .
Θα αποδείξουμε πως , δηλαδή .
Παρατηρούμε πως , ενώ (αφού η είναι επίκεντρη της στο κύκλο με κέντρο και ακτίνα .
Άρα αρκεί να αποδείξουμε πως , δηλαδή .
Ξέρουμε όμως πως , από τον ορισμό του .
Άρα αρκεί .
Παρατηρούμε πως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και , άρα η είναι η διχοτόμος της .
Αν το δεν ήταν ισοσκελές, τότε αφού το ανήκει στη διχοτόμο της και , θα έπρεπε το να είναι εγγράψιμο (θεώρημα νότιου πόλου), άτοπο, αφού ο περιγεγραμμένος κύκλος του είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του και το δεν ανήκει σε αυτό το κύκλο.
Άρα το είναι ισοσκελές με και το ζητούμενο έπεται.
EDIT: Προστέθηκε το σχήμα!
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Δευ Ιούλ 09, 2018 10:32 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
Re: IMO 2018
Θα χρησιμοπουμε μιγαδικοί αριθμοίDemetres έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 09, 2018 2:25 pmΠρόβλημα 1
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία και βρίσκονται στα τμήματα και αντίστοιχα ώστε . Οι μεσοκάθετες των και τέμνουν τα μικρά τόξα και του στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες και είτε είναι παράλληλες είτε είναι οι ταυτόσημες.
Έστω ότι Γ είανι το μοναδιαίο κύκλο και έστω ότι , είναι το σημείο τομής των και με των μεσοκάθετων τους αντίστοιχα.
Τωρά και
και
Επίσης
Έχουμε 2 περιπτώσεις
Περίπτωση 1:
Εδώ
και
αφού
Άρα οι ευθείες και είτε είναι παράλληλες είτε είναι οι ταυτόσημες.
Περίπτωση 2:
Αλλά και (είναι φανερό)
Οπότε ειναι πάνω στα τόξα και δηλαδή είανι τα ίσα κλάσματα είανι το σημείο Α
Δηλαδή που είανι ακριβώς η περίπτωση 1.
Άρα η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: IMO 2018
Με παίδεψε πολύ αυτή η άσκηση ...Demetres έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 09, 2018 2:25 pmΠρόβλημα 3
Ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ είναι μια τριγωνική διάταξη αριθμών έτσι ώστε εκτός από τους αριθμούς της τελευταίας σειράς, κάθε αριθμός είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο αριθμών που βρίσκονται αμέσως από κάτω του. Π.χ. το πιο κάτω είναι ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ με τέσσερις σειρές που περιέχει κάθε αριθμό από το ως το .
Υπάρχει τρίγωνο αντι-Πασκάλ με σειρές το οποίο να περιέχει κάθε ακέραιο από το ως το ;
Καταρχήν, θα ''γυρίσω'' ανάποδα το τρίγωνο (έτσι ώστε στην βάση του να υπάρχει μόνο αριθμός)
Λοιπόν, ξεκινάμε ορίζοντας:
Base: ο αριθμός στην βάση του τριγώνου.
Τώρα, σχηματίζουμε μία γραμμή, ξεκινώντας από τον base, έχουμε τους δύο αποπάνω αριθμούς, από τους οποίους σχηματίστηκε ο base, και από αυτούς παίρνουμε τον μεγαλύτερο, και κάνουμε την ίδια διαδικασία. Όλοι αυτοί οι αριθμοί, οι ''μεγάλοι'' σχηματίζουν μία γραμμή, που την ονομάζουμε big line. Οι ''μικρότεροι'' αριθμοί, ονομάζονται small numbers.
Ο μεγαλύτερος αριθμός στην πάνω σειρά, ονομάζεται big.
Από τον big, φέρνουμε παράλληλη προς μία πλευρά του τριγώνου, όπως και από τον αριθμό δεξιά από τον big, και σχηματίζουμε δύο σχήματα, που έχουν τις ιδιότητες τις εκφώνησης για το αντί-Πασκάλ (εκτός από ότι περιέχει κάθε ακέραιο). Αυτά τα ονομάζουμε sub-triangles.
Π.χ. για έχουμε το :
όπου η γραμμή είναι η big line, οι μαύροι αριθμοί αποτελούν τα subtriangles, οι κυκλωμένοι αριθμοί είναι οι small numbers και o είναι ο base.
Επίσης, εύκολα αποδεικνύεται ότι ο big είναι ίσος με το άθροισμα των small numbers και του base. Οπό
Οπότε μετράμε το ελάχιστο άθροισμα των base και των small numbers στα sub-triangles, που είναι .
Επίσης, αφού έχουμε δύο subtriangles, το άθροισμα των big τους είναι το πολύ , άρα , οπότε καταλήγουμε ότι αν , άρα και για είναι αδύνατο να κατασκευαστεί ένα αντι-Πασκάλ.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: IMO 2018
Εντάξει είναι ένα καλό πρόβλημα, ιδανικό για πρώτο θέμα, ας πούμε για «προθέρμανση» (πιστεύω ότι στο πρόβλημα αυτό οι Έλληνες διαγωνιζόμενοι θα "κτυπήσουν" όλοι άριστα). Για να δούμε και την αυριανή μέρα αν θα έχει και κάποιο πιό στιβαρό γεωμετρικό θέμα, για Ολυμπιάδα ... ίδωμεν. Και το λέω αυτό γιατί αργά αλλά σταθερά, έχουμε αλλαγή νοοτροποίας στην θεματολογία των διεθνών διαγωνισμών, με την ελπίδα οι σύγχρονοι τροπαιούχοι να έχουν την ίδια δυνατότητα να κατανοούν αργότερα έννοιες από την πραγματική ανάλυση, την διαφορική γεωμετρία την τοπολογία, την άλγεβρα κτλ., άν αυτό βέβαια παραμένει ζητούμενο. .... και πάλι ίδωμεν ... αφού ένας ισυχρός σύμμαχος της αλήθειας είναι ο χρόνος.Demetres έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 09, 2018 2:25 pmΠρόβλημα 1
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία και βρίσκονται στα τμήματα και αντίστοιχα ώστε . Οι μεσοκάθετες των και τέμνουν τα μικρά τόξα και του στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες και είτε είναι παράλληλες είτε είναι οι ταυτόσημες.
Απλά ας δούμε τώρα για το πρόβλημα αυτό και μία «αιρετική» λύση, κύρια για λόγους πλουραλισμού:
Στο σχήμα θεωρούμε Άμεσα παρατηρούμε ότι
Τα Τρίγωνα και είναι αμβλυγώνια και ίσα, αφού έχουμε .
Επομένως Συνεπώς Όταν το σημείο συμπέσει με το σημείο , τότε έχουμε ταύτιση των ευθειών
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
Re: IMO 2018
Θεωρούμε το καρτεσιανό σύστημα αναφοράς στον επίπεδο μας. Δύο σημεία που απέχονται πρέπει να απέχονται 2 σημεία στον άξονα χ και 1 σημείο στον άξονα ψ, η αντίστροφο. Έτσι εαν ενώσουμε όλα τα σημεία που απέχονται έχουμε ένα γράφημα με 100 κύκλους (κάθε κύκλο περιέχει 4 κορυφές). Τωρά ο Βασιλής για να παίζει το καλύτερο του μπορεί να βάλει ένα μπλέ πέτρα στον κύκλο (που έβαλε προηγουμένως μια κόκκινη πετρα) έτσι ώστε ο Αντρέας να μην μπορεί να τοποθετεί άλλη πέτρα σε αυτο το κύκλο. Άρα ο Αντρέας μπορεί να τοποθετεί το πολύ 100 πέτρα. Αλλά εαν χρωματίζουμε τα σημεία μαυρό και άσπρο εναλλάξ, έχουμε 200 άσπρα σημεία μισά απο το οποία μπορεί να βάλει πέτρα ο Αντρέας κόκκινα πέτρα, έστι ώστε να μην απέχονται . ΆραDemetres έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 09, 2018 2:25 pmΠρόβλημα 4
Ένα κελί, είναι ένα σημείο του επιπέδου ώστε τα και να είναι και τα δύο θετικοί ακέραιοι μικρότεροι ή ίσοι του .
Αρχικά υπάρχουν κενά κελιά. Ο Αντρέας και ο Βασίλης τοποθετούν εναλλάξ πέτρες στα κελιά με τον Αντρέα να αρχίζει πρώτος. Σε κάθε του κίνηση, ο Αντρέας τοποθετεί μια κόκκινη πέτρα σε ένα κενό κελί με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε δυο κελιά με κόκκινες πέτρες να μην έχουν απόσταση ίση με . Σε κάθε του κίνηση, ο Βασίλης τοποθετεί μια μπλε πέτρα σε ένα κενό κελί. (Ο Βασίλης επιτρέπεται να τοποθετήσει πέτρα σε οποιαδήποτε απόσταση από άλλη πέτρα θέλει.) Σταματούν όταν ένας εκ των δύο δεν μπορεί να τοποθετήσει άλλη πέτρα.
Να βρεθεί το μέγιστο ώστε ο Αντρέας να μπορεί σίγουρα να τοποθετήσει κόκκινες πέτρες, άσχετα με το πως τοποθετεί τις πέτρες του ο Βασίλης.
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMO 2018
Ωραία και αυτό.
Γράφω για τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των και . Θα δείξω αρχικά ότι .
Αν δεν ισχύει αυτό τότε θα υπάρχει πρώτος ώστε και
Γνωρίζουμε ότι ο
είναι ακέραιος για .
Αν κάνουμε ανάγωγο το πρώτο κλάσμα, ο παρονομαστής του δεν θα είναι πολλαπλάσιο του . Στο δεύτερο όμως κλάσμα θα είναι. Αυτό είναι άτοπο και άρα ο ισχυρισμός μας αποδείχθηκε.
Επειδή κάθε είναι μικρότερο ή ίσο από το , τότε θα υπάρχει ώστε για κάθε .
Έστω ότι όλα τα είναι ίσα με για . Γράφουμε και για . Τότε για κάθε . Θα έχουμε επίσης ότι το
είναι ακέραιος.
Κάνοντας ομώνυμα βρίσκουμε ότι και επειδή , τότε .
Αφού για κάθε θα υπάρχει και ώστε για κάθε . Αλλά τότε είναι και για κάθε .
Re: IMO 2018
Το πρόβλημα αυτό προτάθηκε από την Ελλάδα από τους: Βαγγέλη Ψύχα, Μιχάλη Σαράντη και τον υπογράφονταDemetres έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 09, 2018 2:25 pmΠρόβλημα 1
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία και βρίσκονται στα τμήματα και αντίστοιχα ώστε . Οι μεσοκάθετες των και τέμνουν τα μικρά τόξα και του στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες και είτε είναι παράλληλες είτε είναι οι ταυτόσημες.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Δημοσιεύσεις: 277
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 14, 2011 11:44 pm
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: IMO 2018
Συγχαρητήρια και στους 3!! Κανά νέο για τα αποτελέσματα των αποστολών μας έχουμε Σιλουανέ?silouan έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 11, 2018 12:12 pmΤο πρόβλημα αυτό προτάθηκε από την Ελλάδα από τους: Βαγγέλη Ψύχα, Μιχάλη Σαράντη και τον υπογράφονταDemetres έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 09, 2018 2:25 pmΠρόβλημα 1
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία και βρίσκονται στα τμήματα και αντίστοιχα ώστε . Οι μεσοκάθετες των και τέμνουν τα μικρά τόξα και του στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες και είτε είναι παράλληλες είτε είναι οι ταυτόσημες.
-
- Δημοσιεύσεις: 551
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:46 pm
- Τοποθεσία: Κόρινθος
Re: IMO 2018
ΘΕΡΜΑ ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ!!!!silouan έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 11, 2018 12:12 pmΤο πρόβλημα αυτό προτάθηκε από την Ελλάδα από τους: Βαγγέλη Ψύχα, Μιχάλη Σαράντη και τον υπογράφονταDemetres έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 09, 2018 2:25 pmΠρόβλημα 1
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία και βρίσκονται στα τμήματα και αντίστοιχα ώστε . Οι μεσοκάθετες των και τέμνουν τα μικρά τόξα και του στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες και είτε είναι παράλληλες είτε είναι οι ταυτόσημες.
Σ τ α ύ ρ ο ς Σ τ α υ ρ ό π ο υ λ ο ς
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 15 επισκέπτες