gbaloglou έγραψε: ↑Παρ Ιούλ 13, 2018 1:57 pm
S.E.Louridas έγραψε: ↑Πέμ Ιούλ 12, 2018 11:00 am
Demetres έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 09, 2018 2:25 pm
Πρόβλημα 6
Ένα κυρτό τετράπλευρο
ικανοποιεί
=
. Σημείο
στο εσωτερικό του
είναι τέτοιο ώστε
και
.
Να δειχθεί ότι
.
Προσωπικά στη διαπραγμάτευση για την επιλογή των προβλημάτων θα ζητούσα το πρόβλημα αυτό να είχε δύο ερωτήματα:
1) Αποδείξτε την ύπαρξη τουλάχιστον ενός σημείου
στο εσωτερικό του
τέτοιου ώστε
και
,
2) Για το σημείο αυτό να δειχθεί ότι
.
Άλλως η εκφώνηση θα έπρεπε να ήταν:
Ένα κυρτό τετράπλευρο
ικανοποιεί
=
και είναι τέτοιο που να υπάρχει σημείο
στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε
και
.
Να δειχθεί ότι
.
Σωτήρη ... υπονοούν κάτι τα παραπάνω ... ή έτσι μου φαίνεται; Υπάρχει περίπτωση οι συνθήκες του προβλήματος* να είναι 'οριακά δυνατές' (όπως ίσως δείχνει η δεύτερη διατύπωση παραπάνω) ή δεν είναι και τόσο ακραίες (όπως ίσως συνάγεται από την πρώτη διατύπωση);
[Προσπάθησα να διερευνήσω το παραπάνω ερώτημα ... ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ, αλλά δεν με βοήθησε όσο χρειάζονταν το WolframAlpha... (Σχετικά με οριακά δυνατές συνθήκες σε κατά τα άλλα ενδιαφέρον πρόβλημα ...
ιδού ένα πρόσφατο σχετικά παράδειγμα!]
*σημειώνω με την ευκαιρία ότι δεν βρήκα πουθενά λύση του ΙΜΟ-6 στο διαδίκτυο, πρέπει πάντως να το έλυσαν γύρω στους 20 διαγωνιζόμενους.
gbaloglou έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 15, 2018 10:14 am
achilleas έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 14, 2018 2:34 pm
Για διάφορες λύσεις, δείτε
εδώ.
Στην παραπάνω σελίδα δίνεται -- από τον δημιουργό του προβλήματος timon92 -- και το ιστορικό δημιουργίας του προβλήματος:
So, my friend Burii told me about the fact that in an inscribed quadrilateral Brocard point exists if and only if the quadrilateral is harmonic. Then I started playing around with similar configurations and then a miracle happened and the problem was created.
[Ο φίλος μου ο Burii μού είπε ότι υπάρχει σημείο Brocard σε εγγράψιμο τετράπλευρο αν και μόνον αν το τετράπλευρο είναι αρμονικό. Τότε άρχισα να πειραματίζομαι με παρόμοιες καταστάσεις και τότε συνέβη ένα θαύμα και δημιουργήθηκε το πρόβλημα.]
Φίλε Γιώργο δεν ξέχασα, βέβαια να σου απαντήσω, αφού κατάλαβες πράγματι τι εννοούσα με τη παρέμβαση μου. Εννοούσα ότι για να λυθεί το πρόβλημα αυτό, αλλά επί της ουσίας για να λυθεί κάθε πρόβλημα, αρκεί να μπεί ο λύτης στον πυρήνα της κατασκευής του. Εδώ λοιπόν το "κόλπο" είναι η κατασκευή του σημείου
. Αν λοιπόν αυτό ζητούνταν δηλαδή η ύπαρξη του σημείου
σε " περιβάλλον Brocard ", το πρόβλημα θα ήταν πιό "τίμιο", αφού τώρα θα έπρεπε ο λύτης να περάσει από το σημείο αυτό, κάτι που κατά την άποψη μου δεν είναι απόλυτα εφικτό στον συγγεκριμένο χρόνο, εκτός και αν στο παρελθόν υπήρξαν ραντεβού του με τέτοιες καταστάσεις.
Επανέρχομαι λοιπόν τώρα Γιώργο, και αμέσως μετά τη σκέψη του κατασκευαστή που έκρυψε τελικά την κατασκευαστική στιγμή του
Αν μου επιτραπεί λοιπόν η γώμη μου: Διαφωνώ κάθετα, σε επίπεδο θεμάτων τέτοιων διαγωνισμών, με κρυψίματα διαδικασιών ύπαρξης, αφού η απόδειξη ύπαρξης θα πρέπει να υπάρχει ή να ζητείται, ώστε να αναπτυχθεί η λυτική ικανότητα των διαγωνιζόμενων.
Κατά τα άλλα πράγματι πρόκειται για ένα άριστο δυνατό γεωμετρικό πρόβλημα, που μάλλον θα μπορούσε στο μέλλον να ανήκει στα θεωρήματα, προσωπικά μου άρεσε πολύ. Επίσης μου άρεσε πολύ που ο κατσκευστής του παρουσίασε ευθέως με επιστημονικό θάρος την πορεία της κατασκευής του, ιδέα - ικασίες - υλοποίηση. Μετά ταύτα θεωρώ τον κατασκευαστή δυνατό άριστο μαθηματικό, τελικά πολλά ειλικρινή μπράβο του.
Υ.Γ. Το "... αν και μόνο αν ..." ισχύει στο περιβάλλον του προβλήματος αυτού;