ΔΩΡΕΑΝ ΕΙΣΟΔΟΣ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Το παρακάτω πρόβλημα έπεσε στην αντίληψή μου πριν λίγες μέρες . Κάποιος μου ζήτησε να ασχοληθώ με αυτό...
Δημοσιεύτηκε πριν ένα χρόνο στο '' ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ '' . Το βρήκα ενδιαφέρον και θέλω να το μοιραστώ μαζί σας...

Ο υπεύθυνος ενός θεάτρου ανακοινώνει στους θεατές , που περιμένουν στην ουρά , ότι ο πρώτος του οποίου η ημερομηνία γέννησης θα είναι ίδια με εκείνη ενός που θα έχει ήδη αγοράσει εισιτήριο , θα κερδίσει μια δωρεάν είσοδο στο θέατρο. Ο Κώστας έχει τη δυνατότητα να επιλέξει τη θέση στην ουρά που θα καταλάβει. Αν υποθέσουμε ότι δεν γνωρίζει την ημερομηνία γέννησης οποιουδήποτε άλλου θεατή και ότι οι ημερομηνίες γέννησης κατανέμονται τυχαία στη διάρκεια του χρόνου , ποια θέση στην ουρά πρέπει να καταλάβει ο Κώστας ώστε να έχει τις περισσότερες πιθανότητες να είναι ο πρώτος με ημερομηνία γέννησης ίδια με εκείνη κάποιου που θα έχει ήδη αγοράσει εισιτήριο;

nikkru · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 19, 2018 9:42 am
Το παρακάτω πρόβλημα έπεσε στην αντίληψή μου πριν λίγες μέρες . Κάποιος μου ζήτησε να ασχοληθώ με αυτό...
Δημοσιεύτηκε πριν ένα χρόνο στο '' ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ '' . Το βρήκα ενδιαφέρον και θέλω να το μοιραστώ μαζί σας...

Ο υπεύθυνος ενός θεάτρου ανακοινώνει στους θεατές , που περιμένουν στην ουρά , ότι ο πρώτος του οποίου η ημερομηνία γέννησης θα είναι ίδια με εκείνη ενός που θα έχει ήδη αγοράσει εισιτήριο , θα κερδίσει μια δωρεάν είσοδο στο θέατρο. Ο Κώστας έχει τη δυνατότητα να επιλέξει τη θέση στην ουρά που θα καταλάβει. Αν υποθέσουμε ότι δεν γνωρίζει την ημερομηνία γέννησης οποιουδήποτε άλλου θεατή και ότι οι ημερομηνίες γέννησης κατανέμονται τυχαία στη διάρκεια του χρόνου , ποια θέση στην ουρά πρέπει να καταλάβει ο Κώστας ώστε να έχει τις περισσότερες πιθανότητες να είναι ο πρώτος με ημερομηνία γέννησης ίδια με εκείνη κάποιου που θα έχει ήδη αγοράσει εισιτήριο;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Αν γράψουμε p_k

για την πιθανότητα να κερδίσει το δωρεάν εισιτήριο αυτός που θα σταθεί στην θέση

, τότε

$\displaystyle p_k = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdots \frac{365-k+2}{365} \cdot \frac{k}{365}$

Έχουμε

$\displaystyle \frac{p_{k+1}}{p_k} = \frac{(366-k)(k+1)}{365k}$

Άρα $\displaystyle p_{k+1} > p_k \Leftrightarrow (366-k)(k+1) > 365k \Leftrightarrow k^2 < 366$

Επειδή 19^2 < 366 < 20^2

αυτό σημαίνει πως πρέπει να σταθεί στην 20η θέση.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Θα ήθελα να γράψω τις σκέψεις μου όταν είδα το θέμα...

Έστω

η θέση που πρέπει να έχει ο Κώστας. Oι k-1

που προηγούνται έχουν όλοι μεταξύ τους διαφορετικές ημερομηνίες γέννησης . Αυτό μπορεί να γίνει με τόσους τρόπους όσες είναι και οι διατάξεις των 365

ανά

, δηλαδή με $\displaystyle \frac{365!}{\left ( 365-k+1 \right )!}$ τρόπους. Ο Κώστας μπορεί να διαλέξει τη θέση του με k-1

τρόπους.

Η πιθανότητα λοιπόν ο Κώστας να καταλάβει την

θέση είναι ίση με $\displaystyle \frac{365!\cdot \left ( k-1 \right )}{\left ( 365-k+1 \right )!\cdot 365^{k}}$

Aπό εδώ και μετά πήγα στο Excel και άρχισα τους υπολογισμούς...

Η απάντηση φάνηκε σχεδόν αμέσως...

Η πιθανότητα μεγιστοποιείται όταν k=20

, και μάλιστα είναι ίση με 0,032320

με ακρίβεια έξη δεκαδικών ψηφίων.

ΠΑΡΑΚΑΛΩ ΚΑΠΟΙΟΝ ΝΑ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙ ΜΙΑ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΩΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΙ ΝΑ ΤΗ ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΕΙ ΣΕ ΑΥΤΟ ΤΟ THREAD...
ΘΕΛΩ ΝΑ ΦΑΝΕΙ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΑ ΤΟ ΜΕΓΙΣΤΟ...
ΘΑ ΤΟ ΕΚΤΙΜΟΥΣΑ ΑΝ ΓΙΝΟΤΑΝ ΚΑΤΙ ΤΕΤΟΙΟ...

nikkru · #5

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 19, 2018 9:42 am
Το παρακάτω πρόβλημα έπεσε στην αντίληψή μου πριν λίγες μέρες . Κάποιος μου ζήτησε να ασχοληθώ με αυτό...
Δημοσιεύτηκε πριν ένα χρόνο στο '' ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ '' . Το βρήκα ενδιαφέρον και θέλω να το μοιραστώ μαζί σας...

Ο υπεύθυνος ενός θεάτρου ανακοινώνει στους θεατές , που περιμένουν στην ουρά , ότι ο πρώτος του οποίου η ημερομηνία γέννησης θα είναι ίδια με εκείνη ενός που θα έχει ήδη αγοράσει εισιτήριο , θα κερδίσει μια δωρεάν είσοδο στο θέατρο. Ο Κώστας έχει τη δυνατότητα να επιλέξει τη θέση στην ουρά που θα καταλάβει. Αν υποθέσουμε ότι δεν γνωρίζει την ημερομηνία γέννησης οποιουδήποτε άλλου θεατή και ότι οι ημερομηνίες γέννησης κατανέμονται τυχαία στη διάρκεια του χρόνου , ποια θέση στην ουρά πρέπει να καταλάβει ο Κώστας ώστε να έχει τις περισσότερες πιθανότητες να είναι ο πρώτος με ημερομηνία γέννησης ίδια με εκείνη κάποιου που θα έχει ήδη αγοράσει εισιτήριο;

Η γραφική παράσταση της πιθανότητας να κερδίσει δωρεάν είσοδο κάποιος από τους πρώτους 90 θεατές:

.

: Δωρεάν είσοδος_P.png (27.33 KiB) Προβλήθηκε 563 φορές

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

Ένα τεράστιο '' ευχαριστώ '' στον nikkru για την τόσο κατατοπιστική γραφική παράσταση...

ΔΩΡΕΑΝ ΕΙΣΟΔΟΣ

ΔΩΡΕΑΝ ΕΙΣΟΔΟΣ

Re: ΔΩΡΕΑΝ ΕΙΣΟΔΟΣ

Re: ΔΩΡΕΑΝ ΕΙΣΟΔΟΣ

Re: ΔΩΡΕΑΝ ΕΙΣΟΔΟΣ

Re: ΔΩΡΕΑΝ ΕΙΣΟΔΟΣ

Re: ΔΩΡΕΑΝ ΕΙΣΟΔΟΣ

Μέλη σε σύνδεση