ΔΩΡΕΑΝ ΕΙΣΟΔΟΣ

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 874
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

ΔΩΡΕΑΝ ΕΙΣΟΔΟΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Πέμ Ιούλ 19, 2018 9:42 am

Το παρακάτω πρόβλημα έπεσε στην αντίληψή μου πριν λίγες μέρες . Κάποιος μου ζήτησε να ασχοληθώ με αυτό...
Δημοσιεύτηκε πριν ένα χρόνο στο '' ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ '' . Το βρήκα ενδιαφέρον και θέλω να το μοιραστώ μαζί σας...


Ο υπεύθυνος ενός θεάτρου ανακοινώνει στους θεατές , που περιμένουν στην ουρά , ότι ο πρώτος του οποίου η ημερομηνία γέννησης θα είναι ίδια με εκείνη ενός που θα έχει ήδη αγοράσει εισιτήριο , θα κερδίσει μια δωρεάν είσοδο στο θέατρο. Ο Κώστας έχει τη δυνατότητα να επιλέξει τη θέση στην ουρά που θα καταλάβει. Αν υποθέσουμε ότι δεν γνωρίζει την ημερομηνία γέννησης οποιουδήποτε άλλου θεατή και ότι οι ημερομηνίες γέννησης κατανέμονται τυχαία στη διάρκεια του χρόνου , ποια θέση στην ουρά πρέπει να καταλάβει ο Κώστας ώστε να έχει τις περισσότερες πιθανότητες να είναι ο πρώτος με ημερομηνία γέννησης ίδια με εκείνη κάποιου που θα έχει ήδη αγοράσει εισιτήριο;



Λέξεις Κλειδιά:
nikkru
Δημοσιεύσεις: 330
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: ΔΩΡΕΑΝ ΕΙΣΟΔΟΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Πέμ Ιούλ 19, 2018 12:52 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Πέμ Ιούλ 19, 2018 9:42 am
Το παρακάτω πρόβλημα έπεσε στην αντίληψή μου πριν λίγες μέρες . Κάποιος μου ζήτησε να ασχοληθώ με αυτό...
Δημοσιεύτηκε πριν ένα χρόνο στο '' ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ '' . Το βρήκα ενδιαφέρον και θέλω να το μοιραστώ μαζί σας...


Ο υπεύθυνος ενός θεάτρου ανακοινώνει στους θεατές , που περιμένουν στην ουρά , ότι ο πρώτος του οποίου η ημερομηνία γέννησης θα είναι ίδια με εκείνη ενός που θα έχει ήδη αγοράσει εισιτήριο , θα κερδίσει μια δωρεάν είσοδο στο θέατρο. Ο Κώστας έχει τη δυνατότητα να επιλέξει τη θέση στην ουρά που θα καταλάβει. Αν υποθέσουμε ότι δεν γνωρίζει την ημερομηνία γέννησης οποιουδήποτε άλλου θεατή και ότι οι ημερομηνίες γέννησης κατανέμονται τυχαία στη διάρκεια του χρόνου , ποια θέση στην ουρά πρέπει να καταλάβει ο Κώστας ώστε να έχει τις περισσότερες πιθανότητες να είναι ο πρώτος με ημερομηνία γέννησης ίδια με εκείνη κάποιου που θα έχει ήδη αγοράσει εισιτήριο;
Με επιφύλαξη , ο 20ος έχει τις περισσότερες πιθανότητες να κερδίσει την δωρεάν είσοδο.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7882
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΔΩΡΕΑΝ ΕΙΣΟΔΟΣ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 19, 2018 1:10 pm

Αν γράψουμε p_k για την πιθανότητα να κερδίσει το δωρεάν εισιτήριο αυτός που θα σταθεί στην θέση k, τότε

\displaystyle  p_k = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdots \frac{365-k+2}{365} \cdot \frac{k}{365}

Έχουμε

\displaystyle  \frac{p_{k+1}}{p_k} = \frac{(366-k)(k+1)}{365k}

Άρα \displaystyle  p_{k+1} > p_k \Leftrightarrow (366-k)(k+1) > 365k \Leftrightarrow k^2 < 366

Επειδή 19^2 < 366 < 20^2 αυτό σημαίνει πως πρέπει να σταθεί στην 20η θέση.


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 874
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΔΩΡΕΑΝ ΕΙΣΟΔΟΣ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Δευ Ιούλ 23, 2018 9:20 am

Θα ήθελα να γράψω τις σκέψεις μου όταν είδα το θέμα...

Έστω k η θέση που πρέπει να έχει ο Κώστας. Oι k-1 που προηγούνται έχουν όλοι μεταξύ τους διαφορετικές ημερομηνίες γέννησης . Αυτό μπορεί να γίνει με τόσους τρόπους όσες είναι και οι διατάξεις των 365 ανά k-1 , δηλαδή με \displaystyle \frac{365!}{\left ( 365-k+1 \right )!} τρόπους. Ο Κώστας μπορεί να διαλέξει τη θέση του με k-1 τρόπους.

Η πιθανότητα λοιπόν ο Κώστας να καταλάβει την k θέση είναι ίση με \displaystyle \frac{365!\cdot \left ( k-1 \right )}{\left ( 365-k+1 \right )!\cdot 365^{k}}

Aπό εδώ και μετά πήγα στο Excel και άρχισα τους υπολογισμούς...

Η απάντηση φάνηκε σχεδόν αμέσως...

Η πιθανότητα μεγιστοποιείται όταν k=20 , και μάλιστα είναι ίση με 0,032320 με ακρίβεια έξη δεκαδικών ψηφίων.

ΠΑΡΑΚΑΛΩ ΚΑΠΟΙΟΝ ΝΑ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙ ΜΙΑ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΩΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ k ΚΑΙ ΝΑ ΤΗ ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΕΙ ΣΕ ΑΥΤΟ ΤΟ THREAD...
ΘΕΛΩ ΝΑ ΦΑΝΕΙ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΑ ΤΟ ΜΕΓΙΣΤΟ...
ΘΑ ΤΟ ΕΚΤΙΜΟΥΣΑ ΑΝ ΓΙΝΟΤΑΝ ΚΑΤΙ ΤΕΤΟΙΟ...


nikkru
Δημοσιεύσεις: 330
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: ΔΩΡΕΑΝ ΕΙΣΟΔΟΣ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Δευ Ιούλ 23, 2018 12:06 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Πέμ Ιούλ 19, 2018 9:42 am
Το παρακάτω πρόβλημα έπεσε στην αντίληψή μου πριν λίγες μέρες . Κάποιος μου ζήτησε να ασχοληθώ με αυτό...
Δημοσιεύτηκε πριν ένα χρόνο στο '' ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ '' . Το βρήκα ενδιαφέρον και θέλω να το μοιραστώ μαζί σας...


Ο υπεύθυνος ενός θεάτρου ανακοινώνει στους θεατές , που περιμένουν στην ουρά , ότι ο πρώτος του οποίου η ημερομηνία γέννησης θα είναι ίδια με εκείνη ενός που θα έχει ήδη αγοράσει εισιτήριο , θα κερδίσει μια δωρεάν είσοδο στο θέατρο. Ο Κώστας έχει τη δυνατότητα να επιλέξει τη θέση στην ουρά που θα καταλάβει. Αν υποθέσουμε ότι δεν γνωρίζει την ημερομηνία γέννησης οποιουδήποτε άλλου θεατή και ότι οι ημερομηνίες γέννησης κατανέμονται τυχαία στη διάρκεια του χρόνου , ποια θέση στην ουρά πρέπει να καταλάβει ο Κώστας ώστε να έχει τις περισσότερες πιθανότητες να είναι ο πρώτος με ημερομηνία γέννησης ίδια με εκείνη κάποιου που θα έχει ήδη αγοράσει εισιτήριο;
Η γραφική παράσταση της πιθανότητας να κερδίσει δωρεάν είσοδο κάποιος από τους πρώτους 90 θεατές:

.
Δωρεάν είσοδος_P.png
Δωρεάν είσοδος_P.png (27.33 KiB) Προβλήθηκε 224 φορές


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 874
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΔΩΡΕΑΝ ΕΙΣΟΔΟΣ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Δευ Ιούλ 23, 2018 2:36 pm

Ένα τεράστιο '' ευχαριστώ '' στον nikkru για την τόσο κατατοπιστική γραφική παράσταση...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης