οριο Ρητοί-Αρρητοι

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Ασκηση
Έστω $\displaystyle{ f:R \to R }$ με $\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x^2 ,\,\,\,\,x\,\,\rho \eta \tau o\varsigma \\ 0,\,\,\,\,\,\,x\,\,\,\alpha \rho \rho \eta \tau o\varsigma \\ \end{array} \right. }$ και $\displaystyle{ g:R \to R }$ με g(x)=ημχ. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = 0 }$ .

#2

Ισχύει $0 \leq f(x) \leq x^2$ .

Αν $\displaystyle{x \in \left(0,\frac{\pi}{2} \right)}$ , έχουμε ότι:

$\displaystyle {0 \leq \frac{f(x)}{g(x)} \leq \frac{x^2}{sinx}$ ,

οπότε από το κριτήριο παρεμβολής $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{f(x)}{g(x)}=0}$ .

Ομοίως για $\displaystyle{x \in \left(-\frac{\pi}{2} \right,0)}$ , έχουμε ότι:

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{f(x)}{g(x)}=0}$ ,

άρα $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=0}$ .

ZITAVITA · #3

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις
Αν x ρητός τότε $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x^2 }}{{\eta \mu x}}\mathop = \limits^{\frac{0}{0}} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{\sigma \upsilon \nu x}} = 0 }$

Αν χ άρρητος τότε $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{0}{{\eta \mu x}}\mathop = \limits^{\frac{0}{0}} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{0}{{\sigma \upsilon \nu x}} = 0 }$

Άρα $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\mathop = \limits^{} 0 }$

#4

Η δεύτερη απόδειξη παραπάνω, αν και κατ ΄ουσίαν σωστή, θέλει στρώσιμο γιατί χρησιμοποιεί L' Hospital σε συναρτήσεις που δεν ορίζονται σε διαστήματα (π.χ. το ένα σκέλος μιλά μόνο για τους ρητούς σε διάστημα).

Πιο απλά, αφού $\lim_{x \rightarrow 0}\frac {x}{\sin x} = 1,$

υπάρχει σταθερά με $|\frac {x}{\sin x}|\le C$ , αν $x \ne 0$ .

Αλλά τότε $|\frac {f(x)}{g(x)} | \le C|x| \,$ και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

οριο Ρητοί-Αρρητοι

οριο Ρητοί-Αρρητοι

Re: οριο Ρητοί-Αρρητοι

Re: οριο Ρητοί-Αρρητοι

Re: οριο Ρητοί-Αρρητοι

Μέλη σε σύνδεση