Ακέραιες τιμές πολυωνύμου

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Με αφορμή το
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 19&t=62294

Εστω πολυώνυμο

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_{0},a_{n}\neq 0,a_{i}\in \mathbb{C},n\geq 1$

Αν υπάρχει $m\in \mathbb{Z}$ ώστε $f(k)\in \mathbb{Z},k=m,m+1,...,m+n$

τότε $f(r)\in \mathbb{Z}$ για κάθε $r\in \mathbb{Z}$

#2

Θα χρησιμοποιήσω το πιο κάτω το οποίο αποδεικνύεται εύκολα επαγωγικά. Μια σκιαγράφηση της απόδειξης βρίσκεται εδώ.

Αν

ομαλή συνάρτηση και

φυσικός τότε

$\displaystyle{ \sum_{k=0}^r (-1)^{r-k} \binom{r}{k} f(x+k) = f^{(r)}(\xi) }$

για κάποιο $\xi \in (x,x+r)$ .

Στην περίπτωσή μας, για r=n+1

και

παίρνουμε:

$\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1} (-1)^{n+1-k} \binom{n+1}{k} f(m+k) = 0 }$

Ισοδύναμα,

$\displaystyle f(m+n+1) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} \binom{n+1}{k} f(m+k)$

που δίνει ότι ο

είναι ακέραιος. Επαγωγικά βρίσκουμε ότι ο f(r)

είναι ακέραιος για κάθε ακέραιο $r \geqslant m$ . Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι είναι ακέραιος και για κάθε ακέραιο $r \leqslant m$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Να δώσω και την λύση μου.
Η ουσία είναι ίδια με την λύση του Δημήτρη.Και οι δύο λύσεις έχουν την βάση τους στην θεωρία των
διαιρεμένων διαφορών.

Θεωρώντας το g(x)=f(x+m)

αρκεί να δείξουμε ότι $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow g(k)\in \mathbb{Z}$

Είναι $g(0),g(1),...g(n)\in \mathbb{Z}$

Γράφουμε το

σε μορφή Newton και έχουμε

$g(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x(x-1)+....+c_{n}x(x-1)...(x-(n-1))$ .

Χρειαζόμαστε το εξής:
Αν έχουμε

διαδοχικούς ακεραίους τότε το γινόμενο τους διαιρείται με

Απόδειξη
Αν κάποιος είναι

είναι προφανές.

Διαφορετικά $k(k-1)..(k-(n-1))=\binom{k}{n}n!$

ενώ αν είναι αρνητικοί παίρνουμε τους αντίθετους.

Εχουμε λοιπόν

$g(0)\in \mathbb{Z}\Rightarrow c_{0}\in \mathbb{Z}$

$g(1)\in \mathbb{Z}\Rightarrow c_{1}\in \mathbb{Z}$

$g(2)\in \mathbb{Z}\Rightarrow 2!c_{2}\in \mathbb{Z}$
....
.....
$g(k)\in \mathbb{Z}\Rightarrow k!c_{k}\in \mathbb{Z}$
.....
......
$g(n)\in \mathbb{Z}\Rightarrow n!c_{n}\in \mathbb{Z}$

Αν έχουμε $r\in \mathbb{Z}$
τότε

$c_{k}r(r-1)..(r-(k-1))=k!c_{k}\frac{r(r-1)..(r-(k-1))}{k!}\in \mathbb{Z}$

που δείχνει ότι

$r\in \mathbb{Z}\Rightarrow g(r)\in \mathbb{Z}$

Ακέραιες τιμές πολυωνύμου

Ακέραιες τιμές πολυωνύμου

Re: Ακέραιες τιμές πολυωνύμου

Re: Ακέραιες τιμές πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση